面试题2：10个靶打中90环的情况有多少种？

中学数学题目：射击训练，每个靶得分为0环到10环（共11种可能），一个人打了10个靶，那么：

打中0环的可能只有一种，即每个靶都打种0环。打中100环情况一样，只不过把得分换为丢分。

打中1环有10种可能，即第1个靶打中1环，其余的靶打中0环；或者第2个靶打中1环，其余的靶打中0环；……或者第10个靶打中1环，其余的靶打中0环。打中99环情况一样，只不过把得分换为丢分。

打中2环有55种可能，分为两类，1) 这2环在同一个靶上，有10种可能；2) 这2环分两个靶打中，每个靶1环，有10*9/2 = 45 种可能。一共有55种可能。打中98环情况一样，只不过把得分换为丢分。

问打中90环的情况有多少种。

思路1：用生成函数。求多项式(x^10 + x^9 + ... + x + 1)^10中x^90那项的系数，为92378。Matlab代码：

a = ones(1, 11);

a2 = conv(a,a);
a4 = conv(a2,a2);
a8 = conv(a4,a4);
a10 = conv(a2,a8);
a10( 91 ) % arrays in Matlabare 1 - based.

ans = 92378

这个办法对所有的环数都成立。

思路2：多重组合。一共在10个靶上丢了10环，考虑把10个相同的小球放到一排10个杯子里边的情况有多少种。10个杯子之间有9个隔板，假设我们有一排19个小坑，选出其中10个小坑放球，另外那9个坑放隔板，那么第1个隔板之前的小球（可能为0个，也可能为10个）放入第1个杯子，第1个和第2个隔板之间的小球（可能为0个，也可能为10个）放入第2个杯子，依此类推，第9个隔板之后的小球放入第10个杯子。那么情况一共有C(10, 19) ＝92378种。

10个靶中n环的情况数为C(n, 10+n-1)，对0<=n<=10成立。

如果10个靶中了11环，按这个公式计算出的答案是167960，这是错误的，因为它把“一个靶中11环”的情况也算了进去，正确的答案是167960-10=167950。

思路3：递推（递归）。适合列举出全部情况。考虑10个靶中3环，对于第1个靶：如果中0环，那问题转为求剩下9个靶里中3环的情况；如果中1环；问题转为求剩下9个靶里中2环的情况；如果中2环；问题转为求剩下9个靶里中1环的情况；如果中3环；问题转为求剩下9个靶里中0环的情况。这样每一步问题规模都在缩小，缩小到只有1个靶时就可以直接给出答案了。

Python 代码：

# -*-coding:cp936-*-

seq = []
MAX_SCORE = 10

def butt(n,score):
global seq,MAX_SCORE
assert (n >= 1 and score >= 0)
if n == 1 :
if score <= MAX_SCORE:
seq.append(score)
print seq
seq.pop()
return 1
else : # 一次得不了这么多分
return 0
else :
cnt = 0
for s in range(min(MAX_SCORE,score) + 1 ):
# 本靶中s环（sin[0,1,2,...]），计算剩下n-1个靶中score-s环的情况
remain_score = score - s;

# 剩下n-1个靶全得满分也打不了score-s环，就算了
if (n - 1 ) * MAX_SCORE < remain_score:
continue

seq.append(s)
cnt += butt(n - 1 ,remain_score)
seq.pop()
return cnt

if __name__ == ' __main__ ' :
all = butt( 10 , 3 )
print " Totalcases: " ,all

这实际上还可以看成一个动态规划问题，如果把中间结果记下来，可以避免很多重复计算。另外如果把MAX_SCORE设为1，那么这个程序可以用来生成所有组合。