【算法与数据结构】三分查找

一. 概念

在二分查找的基础上，在右区间（或左区间）再进行一次二分，这样的查找算法称为 三分查找，也就是三分法。

三分查找通常用来迅速确定最值。

二分查找所面向的搜索序列的要求是：具有单调性（不一定严格单调）；没有单调性的序列不是使用二分查找。

与二分查找不同的是，三分法所面向的搜索序列的要求是： 序列为一个凸性函数。通俗来讲，就是该序列必须有一个最大值（或最小值），在最大值（最小值）的左侧序列，必须满足不严格单调递增（递减），右侧序列必须满足不严格单调递减（递增）。如下图，表示一个有最大值的凸性函数：

二、算法过程

（1）、与二分法类似，先取整个区间的中间值mid。

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1. mid = (left + right) / 2;  

（2）、再取右侧区间的中间值midmid，从而把区间分为三个小区间。

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1. midmid = (mid + right) / 2;  

（3）、我们mid比midmid更靠近最值，我们就舍弃右区间，否则我们舍弃左区间？。

比较mid与midmid谁最靠近最值，只需要确定mid所在的函数值与midmid所在的函数值的大小。当最值为最大值时，mid与midmid中较大的那个自然更为靠近最值。最值为最小值时同理。

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1. if (cal(mid) > cal(midmid))  
2.     right = midmid;  
3. else  
4.     left = mid;  

（4）、重复（1）（2）（3）直至找到最值。

算法的正确性：

1、mid与midmid在最值的同一侧。由于凸性函数在最大值（最小值）任意一侧都具有单调性，因此，mid与midmid中，更大（小）的那个 数自然更为靠近最值。此时，我们远离最值的那个区间不可能包含最值，因此可以舍弃。

2、 mid与midmid在最值的两侧。由于最值在中间的一个区间，因此我们舍弃一个区间后，并不会影响到最值

三、具体实现 

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1. const double EPS = 1e-10;  
2.   
3. double calc(double x)  
4. {  
5.     // f(x) = -(x-3)^2 + 2;  
6.     return -(x-3.0)*(x-3.0) + 2;  
7. }  
8.   
9. double ternarySearch(double low, double high)  
10. {  
11.     double mid, midmid;  
12.     while (low + EPS < high)  
13.     {  
14.         mid = (low + high) / 2;  
15.         midmid = (mid + high) / 2;  
16.         double mid_value = calc(mid);  
17.         double midmid_value = calc(midmid);  
18.         if (mid_value > midmid_value)  
19.             high = midmid;  
20.         else  
21.             low = mid;  
22.     }  
23.     return low;  
24. }  

调用ternarySearch(0, 6)，返回的结果为3.0000