泊松分酒原理

有一个12品脱(pint)的酒瓶，里面装满葡萄酒，另有8品脱和5品脱的瓶子各一个。问如何从中分出6品脱的酒出来？

传说泊松年轻时成功解决了该问题，勾起了他对数学的兴趣而投身数学研究，因此该问题被称为泊松分酒问题。另外这个问题又被称为分油问题啦，分水问题啦等等。

小学的时候在一本《十万个问什么——数学卷》中看到过这个问题，那本书直接给出了一个解答过程，又没说原理，看得我糊里糊涂。

一 .  解答过程

 

为了方便说明，将容量为12品脱，8品脱，5品脱瓶子分别称为大瓶子，中瓶子，小瓶子。按照下面2种规则中的如何一种可以解决这个问题：

第一套规则：

1. 大瓶子只能倒入中瓶子

2. 中瓶子只能倒入小瓶子

3. 小瓶子只能倒入大瓶子

4. 小瓶子只有在已经装满的情况下才能倒入大瓶子

5. 若小瓶子被倒空，则无论中瓶子是否满，应马上从中瓶子倒入小瓶子

 

之所以要规定倒酒的顺序是为了防止状态重复。而根据这5条规则，大瓶子每次倒入中瓶子的酒总是8品脱，小瓶子每次倒入大瓶子的酒总是5品脱。（请结合下面的表来理解这句话，理解这点很重要）

 

有了上面的规定后，倒酒的顺序就确定下来了：

12品脱瓶子	8品脱瓶子	5品脱瓶子
12	0	0	初始状态
4	8（倒进）	0
4	3	5（倒出）
9	3	0
9	0	3
1	8（倒进）	3
1	6	5（倒出）	搞到6品脱了
6	6	0	完成

 

第二套规则：

1. 大瓶子只能倒入小瓶子

2. 小瓶子只能倒入中瓶子

3. 中瓶子只能倒入大瓶子

4. 中瓶子只有在已经装满的情况下才能倒入大瓶子

5. 若中瓶子被倒空，则无论小瓶子是否满，应马上将小瓶子倒入中瓶子

 

其实只是将第一套规则中的“中”和“小”两个字对换了一下。

根据这个规则确定的倒酒的顺序如下（注意，我将8品脱和5品脱的位置交换了一下）：

 

12品脱瓶子	5品脱瓶子	8品脱瓶子
12	0	0
7	5（倒进）	0
7	0	5
2	5（倒进）	5
2	2	8（倒出）
10	2	0
10	2	2
5	5（倒进）	2
5	0	7
0	5（倒进）	7
0	4	8（倒出）
8	4	0
8	0	4
3	5（倒进）	4
3	1	8（倒出）
11	1	0
11	0	1
6	5（倒进）	1	搞到6品脱了
6	0	6	完成

 

好了试试用这两种规则之一解决如下分酒问题吧：

大瓶子容量10，中瓶子容量7，小瓶子容量3，要分出来5

 

二.  原理

设大，中，小三个瓶子容量分别是C1，C2，C3，需要倒出的容量是R

则实际上要是我们能将容量为R的酒倒到中瓶子和小瓶子中就可以啦（有点废话）

设大瓶子倒满中瓶子X次，从小瓶子中倒入大瓶子Y次。

那么显然由大瓶子累次倒入中瓶子和小瓶子总共C2*X的酒。而由小瓶子倒入大瓶子一共有C3*Y的酒。

那么最终，小瓶子和中瓶子剩余的酒显然就是 C2*X - C3*Y

因此，泊松分酒问题实质上转化为下面的不定方程是否有正整数解的问题：

 

C2*X - C3*Y = R

对于我们的问题，

C1=12，C2=8，C3=5，R=6

第一种倒酒规则实质上相当于解下面这个不定方程：

8X - 5Y = 6  （ 限定 X > 0 ，Y > 0 ）

最小整数解是 X=2，Y= 2

 

表示倒满8品脱的瓶子2次，5品脱的瓶子倒空2次

那么8品脱的瓶子和5品脱的瓶子剩酒总量必然是 8 * 2 – 5 * 2 = 6

第二种倒酒规则实质上相当于解下面的不定方程：

5X - 8Y = 6 （ 限定 X > 0 , Y > 0 ）

最小整数解是 X = 6 ，Y= 3

表示倒进5品脱瓶子6次，从8品脱瓶子中倒出3次

那么最终5品脱和8品脱的瓶子剩酒总量必然是 5 * 6 – 8 * 3 = 6

 

好了，现在你明白为什么要规定倒酒的顺序了吧。小瓶子和中瓶子是一个系统，而大瓶子又是另外一个系统，大瓶子的酒只能倒入中瓶子和小瓶子组成的系统，小瓶子的酒只能倒出到大瓶子的系统。我们关注的是由中瓶子和小瓶子组成的系统，这个系统每次增加都是8品脱（中瓶子容量），每次减少都是5品脱（小瓶子容量）。

另外，如果存在X和Y，使得下面的方程有解：

C2*X - C3*Y = 1

实质上就是说能够倒出1品脱的酒，那么任意品脱的酒都能倒出了。

因为:

(C2*X - C3*Y)*N = N