如何用函数表示数（五）其他运算

有了增1和0，我们就可以表示出所有的数了。事实上，这种用函数计数的方法叫做church numeral，发明者是阿隆佐.邱奇，听说过此名字的人可能不多，此人发明了lambda算子，为图灵的导师，奠定了现代计算机理论基础的图灵机正是lambda运算的一种表现方式。因此此人可以被称为咱们程序员的祖师爷，也不为过。

除了增1之外，该计数法还有其他的运算方式，下面一一进行陈列和解说。

加法

function add(n){
  return function(m){
    return function(f){
      return function(x){
          return n(f)(m(f)(x));
      }
    }
  }
} printduck(add(two)(three));

别晕，拆开来看就能看得清楚。

加法虽然嵌套了四层，这是因为加法是双目运算，除了表现出加法结果的f和x之外，还有两个被加数要加进来：

function add(n){
  return function(m){
    return function(f){
      return function(x){
          part1 = m(f)(x);//execute f(x) m times;
          return n(f)(part1);//execute f(x) n times,so tolally m+n tiimes;
      }
    }
  }
}

前面说过，形如n(f)(x)表示把f（x)执行n次。那么m(f)(x)，表示执行m次f(x)，n(f)(m(f)(x))，表示执行m+n次f(x)，其结果就是表示出了m+n。此外，m和n中任意一个为0，都不会影响到另一半得出结果。

乘法

function multi(n){
  return function(m){
    return function(f){
      return function(x){
         return n(m(f))(x);  
      }
    }
  }
}

printduck(multi(two)(three));

弄懂了前面的加法，相信乘法是很好懂的。n(m(f))(x)表示把m(f)(x)执行n次，而m(f)(x)又表示表示把f(x)执行m次，因此等于执行m x n次f(x)，乘法得以表示。此外n和m中有任何一个为zero都会让最终结果变为0.

真正销魂的是

指数算法：

function exp(m){//m^n
  return function(n){
    return function(f){
      return function(x){
        return n(m)(f)(x);
      }
    }
  }
} 
printduck(exp(three)(two));

相信看得懂的人不多，我努力做些解释看能不能帮助大家理解.

当n等于zero时，该式等于zero(m)(f)(x)，根据zero的定义，zero(m)(f)=f.该试等于f(x)。因此不论m等于几，f(x)一定只被执行一次，相当于0的任意次方都等于1.

当n为大于0的数时，n(m)(f)(x) 相当于incr(n-1)(m)(f)(x)
再套用incr公式得到m(n-1(m)(f))(x)
正好可以套用前面的乘法公式n(m(f))(x)，相当于把f(x)执行m*(n-1(m))次
而n-1(m)又可以转化为m*(n-2(m))
经过n次转换后，最终得到m*m*m……*m*(zero(m))，前面已经证明zero(m)=1
因此n(m)(f)(x)等于执行f(x)m的n次方次，得证。

思考&后记：

本篇文章只是展示了函数式编程方法的冰山一角，希望你看完这篇文章后可以体会到函数式本身的灵活和强大，而不仅仅是找到了一种新奇好玩的表示数的方法。留下几个问题给大家思考：

1. 可不可以设计一个函数叫repeat(n,f)或repeat(n)，它不仅能够重复执行一个任务n遍，还能够像上面的函数一样本身也具备叠加等数的性质？比如repeat(n,repeat(n,repeat(n,...)))。
2. 在示例中用到的f和x两个函数，它们都具备入参x，入参x能否省略，为什么？
3. 前文中提到n(f)(x)中，x从来不被执行。因此，在x处传入任何东西都是可以的。这句话是对还是不对？为什么？