Gale-Shapley算法

1962年，美国数学家David Gale和Lloyd Shapley发明了一种寻找稳定婚姻的策略。不管男女各有多少人，也不管他们的偏好如何，应用这种策略后总能得到一个稳定的搭配。换句话说，他们证明了稳定的婚姻搭配总是存在的。有趣的是，这种策略反映了现实生活中的很多真实情况。

在这种策略中，男孩儿将一轮一轮地去追求他中意的女子，女子可以选择接受或者拒绝他的追求者。第一轮，每个男孩儿都选择自己名单上排在首位的女孩儿，并向她表白。此时，一个女孩儿可能面对的情况有三种：没有人跟她表白，只有一个人跟她表白，有不止一个人跟她表白。在第一种情况下，这个女孩儿什么都不用做，只需要继续等待；在第二种情况下，接受那个人的表白，答应暂时和他做情侣；在第三种情况下，从所有追求者中选择自己最中意的那一位，答应和他暂时做情侣，并拒绝所有其他追求者。

第一轮结束后，有些男孩儿已经有女朋友了，有些男孩儿仍然是单身。在第二轮追女行动中，每个单身男孩儿都从所有还没拒绝过他的女孩儿中选出自己最中意的那一个，并向她表白，不管她现在是否是单身。和第一轮一样，女孩儿们需要从表白者中选择最中意的一位，拒绝其他追求者。注意，如果这个女孩儿已经有男朋友了，当她遇到了更好的追求者时，她必须拒绝掉现在的男友，投向新的追求者的怀抱。这样，一些单身男孩儿将会得到女友，那些已经有了女友的人也可能重新变成光棍。在以后的每一轮中，单身男孩儿继续追求列表中的下一个女孩儿，女孩儿则从包括现男友在内的所有追求者中选择最好的一个，并对其他人说不。这样一轮一轮地进行下去，直到某个时候所有人都不再单身，下一轮将不会有任何新的表白发生，整个过程自动结束。此时的婚姻搭配就一定是稳定的了。

   这样得出的配对方案确实是稳定的。首先注意到，随着轮数的增加，一个男孩儿追求的对象总是越来越糟，而一个女孩儿的男友只可能变得越来越好。假设男A和女1各自有各自的对象，但比起现在的对象，男A更喜欢女1。因此，男A之前肯定已经跟女1表白过。既然女1最后没有跟男A在一起，说明女1拒绝了男A，也就是说她有了比男A更好的男孩儿。这就证明了，两个人虽然不是一对，但都觉得对方比自己现在的伴侣好，这样的情况绝不可能发生。

我们把用来解决某种问题的一个策略，或者说一个方案，或者说一个处理过程，或者说一系列操作规则，或者更贴切地说，一套计算方法，叫做“算法”。上面这个用来寻找稳定婚姻的策略就叫做“Gale-Shapley算法”，有些人也管它叫“延迟认可算法”。
Initially all m ∈ M and w ∈W are free
While there is a man m who is free and hasn’t proposed to
every woman
Choose such a man m
Let w be the highest-ranked woman in m’s preference list
to whom m has not yet proposed
If w is free then
(m, w) become engaged
Else w is currently engaged to m
If w prefers m to m then
m remains free
Else w prefers m to m
(m, w) become engaged
m becomes free
Endif
Endif
Endwhile
Return the set S of engaged pairs