齐次坐标

首先想像有个绝对不变的坐标系(0,0)，记为W，然后以W为参照，建立两个坐标系O1和O2, O1的原点在W的（1,1)处，O2的原点在W的（2,2)处。那么W中的一个点P（x,y）在O1中将变为P（x-1,y-1)，在O2中将是P（x- 2, y-2)，这样同一个点P在不同的坐标系下就具有了不同的表示。这会产生一个问题：显然，P点在二维空间的位置是唯一的，是与坐标系无关的，而不同坐标系 下的表示看上去体现不了这种无关性。

        我们使用的是坐标系这样一个概念，坐标系忽略了坐标原点所具有的重要意义：正是原点标示了该坐标系处于哪个参照位置。如果用矩阵来表示一个二维坐标系，将会是如下形式：
|1 0|

|0 1|，其中（1 0)T表示一个基矢量，（0 1)T表示另一个基矢量，它们互相垂直，因此能利用它们标记整个二维空间。
(x,y)*|1 0| = (x,y)

         |0 1|

这就是二维坐标的实际意义。

现在考虑将坐标原点(a,b)也引入到这个矩阵表示中来：
|1 0 |
|0 1 |
|a b |
我们用这个矩阵可以表示二维空间中任意位置的一个坐标系，当然，这个坐标系的基矢量可以不为（0 1)T和（1 0)T，为了和坐标系区分，我们称这种新表示为标架表示。
好，问题来了，如果我们仍然用（x y）来表示点P，那么根据矩阵的乘法规则，我们无法完成其乘法：mx N 的矩阵只能和 N xk的矩阵相乘。解决的办法就是： 给P点添一个尾巴，这个尾巴通常为1：P（x y 1)，这就是P的齐次坐标，利用新的齐次坐标和矩阵相乘得到的结果为：（x+a, y+b)，这样同一个点在不同标架下的不同表示最终会得到同一个计算结果，它反映了这样一个事实：同一个点在不同标架下的不同表示其实是等价的，这一点恰 恰是使用坐标系无法体现出来的。
显然上面那个 3x2的矩阵和P的齐次表示相乘得到的不是齐次坐标，所以应该将它扩充成3x3的方阵：
|1 0 0|
|0 1 0|
|a b 1|

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所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。

在空间直角坐标系中，任意一点可用一个三维坐标矩阵[x y z]表示。如果将该点用一个四维坐标的矩阵[Hx Hy Hz H]表示时，则称为齐次坐标表示方法。在齐次坐标中，最后一维坐标H称为比例因子。

齐次点具有下列几个性质：
　　1）如果实数a非零，则(x, y, x, w)和(ax, ay, az, aw)表示同一个点，类似于x/y = (ax)/( ay)。
　　2）三维空间点(x, y, z)的齐次点坐标为(x, y, z, 1.0)，二维平面点(x,y)的齐次坐标为(x, y, 0.0, 1.0)。
　　3）当w不为零时，齐次点坐标(x, y, z, w)即三维空间点坐标(x/w, y/w, z/w)；当w为零时，齐次点(x, y, z, 0.0)表示此点位于某方向的无穷远处。

那么引进齐次坐标有什么必要，它有什么优点呢？
      1.它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。
      2.它可以表示无穷远的点。n+1维的齐次坐标中如果h=0，实际上就表示了n维空间的一个无穷远点。对于齐次坐标[a,b,h]，保持a,b不变，    点沿直线 ax+by=0 逐渐走向无穷远处的过程。