子序列最大和问题及其推广

1.子序列最大和问题：

给你一串序列x1,x2,……,xn，求max(i,j){xi+……+xj}。

枚举i，j时间复杂度O(N*N)。

简单dp：

设d[i]表示以i结尾的最大序列和。

则ans=max(d[i])。

d[i] = max(d[i-1]+x[i],x[i]);

O(N*N) -> O(N) .

2.最大子矩阵和问题：

给定二维矩阵m[i][j]，求某子矩阵的最大和.

ans = max(sum(x1,y1,x2,y2))。

sum(x1,y1,x2,y2)表示行为x1->x2，列为y1->y2的子矩阵的和。

显然枚举x1,y1,x2,y2复杂度为O(n^4)。

解法：套用一维最大序列和。

枚举x1,x2，可用O(N)的方法得到当最优解行为x1,x2的最大值。

这里只用把x[i]换成sum[x2]-sum[x1]即可。。

参考poj1050.

以上多维子矩阵问题可以类似推广，不过仅仅将算法复杂度降低一个数量级。

3.求某个子矩阵，其和最接近某个值T，最接近指|x-T|的值最小。

参考oj网址：http://cstest.scu.edu.cn/soj/problem.action?id=2691

（华迪实训，完善一下）

• 记s[i][j] = m[1][j]+……+m[i][j]。
• 分析一维情况：求以第i个数结尾的最接近某个值T的数，通过set记录sum[i]可以在O(logn)的时间内找出最接近的，顺序扫一遍即可，复杂度O(nlogn)。
• 枚举行坐标，记为i,k，即为一维情况。
• 总算法复杂度O(n^3logn)。
• 该算法适合于m[i][j]为实数的情况。

O(N)求一维情况，假定x[i]均为非负数。

则记d[i]表示以i结尾的不超过T的最大值,l[i]记录其左边界。

t = d[i-1] + x[i] ;

比较t和ans看谁更加接近T。

更新d[i]，d[i] = t , l[i] = l[i-1] ;

若t > T ,则 while(d[i]-m[l[i]]>T) l[i]++;

附代码如下：

 

#include <stdio.h>
#include <ctype.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <set>

using namespace std;

inline bool get(int &t)
{
    bool flag = 0 ;
    char c;
    while(!isdigit(c = getchar())&&c!='-') if( c == -1 ) break ;
    if( c == -1 ) return 0 ;
    if(c=='-') flag = 1 , t = 0 ;
    else t = c ^ 48;
    while(isdigit(c = getchar()))    t = (t << 1) + (t << 3) + (c ^ 48) ;
    if(flag) t = -t ;
    return 1 ;
}

const int maxn = 21 ;
int n , m , d[maxn][maxn*100] , s[maxn][maxn*100] ;

inline int get_max(int a,int b)    {    return a > b ? a : b ;    }
inline int get_min(int a,int b)    {    return a < b ? a : b ;    }
inline int get_abs(int a)        {    return a < 0 ? -a : a ;    }
int main()
{
    int sth , i , j , k , t , l , r , key , sum ;
    set<int> mp;
    set<int>::iterator ite ;
    /*for( i = 1 ; i < 10 ; i += 2 )
        mp.insert(i);
    while (get(j))
    {
        printf("%d,%d\n",*lower_bound(mp.begin(),mp.end(),j),*upper_bound(mp.begin(),mp.end(),j));
    }*/
    for( sth = 1 ; get(n) ; sth++)
    {
        get(m);    get(key);
        memset(s,0,sizeof(s));
        memset(d,0,sizeof(d));
        for ( i = 1 ; i <= n ; i++)
        {
            for( j = 1 ; j <= m ; j++)
            {
                get(k);
                s[i][j] = s[i-1][j] + k ;
            }
        }
        int ans = 0x7fffffff ;
        for ( i = 0 ; i < n ; i++)
        {
            for ( k = i+1 ; k <= n ; k++)
            {
                //[i][k]区间
                mp.clear();
                t = s[k][1]-s[i][1] ;
                mp.insert(t);    mp.insert(0);
                if( get_abs(ans-key) > get_abs(t-key) ) ans = t ;
                for ( j = 2 ; j <= m ; j++)
                {
                    t += s[k][j]-s[i][j] ;
                    ite = mp.lower_bound(t-key);
                    if( ite == mp.end() )
                    {
                        --ite;
                        l = r = *ite;
                    }
                    else
                    {
                        r = *ite ;
                        if( ite == mp.begin() )
                            l = 0 ;
                        else ite--;
                        l = *ite ;
                    }
                    mp.insert(t);
                    if( get_abs(ans-key) > get_abs(t-l-key) ) ans = t - l ;
                    if( get_abs(ans-key) > get_abs(t-r-key) ) ans = t - r ;
                }
            }
        }
        printf("Case %d:\n%d\n",sth,ans);
    }
}

/*
22
1 9
2 1
*/