Euler Project Promblem 138 /Pell Equation/特殊勾股数整数通解

Problem 138

Consider the isosceles triangle with base length, b = 16, and legs, L = 17.

By using the Pythagorean theorem it can be seen that the height of the triangle, h = (17² 8²) = 15, which is one less than the base length.

With b = 272 and L = 305, we get h = 273, which is one more than the base length, and this is the second smallest isosceles triangle with the property that h = b 1.

Find L for the twelve smallest isosceles triangles for which h = b 1 and b, L are positive integers.

解：

假设 则，又设

于是原问题转变成求等式：

的前12个正整数解。我们将等式进行变形处理，等价变形成：

注：由于都是正整数，所以判别式外面不需要

我们设

为了使为整数，则必须为正整数而且

而

这里我们很容易找到方程的最小解为

对于PELL方程的最小解问题一般是采用连分数来求，我以后会专门讲一下这个方程，这里由于PELL的解比较小，所以直接很容易就求到最小解。

我们知道PELL方程的最小解后，则其通解可以表示为：

该方程的意思是取任意的＞0的整数i ，

则的展开式合并后得到型如：，也会是原PELL方程的解！对于做题目来说只要记住这个性质就行了，如果感兴趣可以自行或者看数论书上的证明^_^

对于PELL负方程，基本用正方程类似，在我们找到最小解后，不同的地方在于其通解表达式

其中的i 只能取奇数，就是说只用奇数次的展开来构造通解。

正负方程的差别我们可以这样进行理解：

对于正方程，对于任意的i都成立;

对于负方程，f只有进行奇数次的展开才会等于;

好了，现在我们回到题目来，我们发现对于方程，其最小解为代入通解表达式得到，i我们取前13个奇数，得到化简后的展开式：

我们可以惊喜的发现而这个就是我们要求的L，所以我们直接把求和就可以了，(=1不满足三角形要求舍去).

完整的Mathematica代码为：

Total[Table[Expand[(2+Sqrt[5])^i][[2,1]],{i,1,26,2}]]-5

对不懂Mathematica的朋友我稍微解释一下代码,Expand表示用其自带的表达式展开的函数展开2+Sqrt[5])^i，[[2,1]]是Mathematica里面的下标运算，目的是为了取得，{i,1,26,2}表示i从1循环到26，步长为2，-5是因为第一项取到了一个没有用的5.

运行结果为：1118049290473932

我估计通过这篇文章的讲解，各位应该是对勾股定理的整数解问题感到很有底气了，不过说回来，还是应该多加练习。

Winxos 2010-1-30