计算任意两个数之间1出现的次数的思维过程

 

1、我刚开始没有什么思路，仅仅是想到了将一个数字拆开成单个的数字，然后求一出现的次数，结果发现很难实现

2、没有思路，只能使用穷举法

穷举法c语言代码：

#include <iostream>

using namespace std;

const int N=1;

int main()

{

int a,b;

while (cin>>a>>b, a||b)

{ int cnt=0;

if (a>b) { int t=a; a=b; b=t; }

for (int i=a;i<=b;++i) {

int t=i;

do

{

if (t%10==N) cnt++;

t/=10;

} while (t);

}

cout<<cnt<<endl;

}

}

3、经过运行后，发现规律：凡是0到只含有9的数字，那么一的个数可以有公式：

设只含9的数字的位数为n，则有个数=n*（10的n-1次方）

4、经过思考，问题可以划分为先求从0到这任意的两个数直接含有一的次数，再求差的为题；这时，问题就转变为求从0到任意数之间含有一的个数的问题。

5、经过在稿纸上的演绎，发现拆分任意一个数得到最高位不为9，其它位都为9的数字时，开始数字只有可能是0，或者开始数字最高位与结尾数字最高位相等；这就得到了递归问题缩小规模时的相似性

6、又经过观察发现：求从0到任一个数字有如下递归表达式：

（1）当此函数的开始数字为0，结尾数字仅含9时，则有个数=n*（10的n-1次方）

（2）当此函数的开始数字为0，结尾数字为一位数时，可以直接求（只要不是0，都返回1）

（3）这是关键的一点：当开始数字最高位和结尾数字最高位相等时

a、如果此最高位不是1，那么此时的问题可以转化为求解开始数字为0，结尾数字为结尾数字除去最高位的数字之间含有1的次数的问题

b、如果次最高为是1，应该在a的基础上再加上最高位1出现的次数，即结尾数字除去最高位的数字再加一（注意这里，刚开始我出错了，误以为各个位只能是从0到此数字，其实，应该是现在这种算法）

（4）其它情况，直接拆成两个区间：例如0到1234，拆成0~999和1000~到1234

7、此时问题已经解决了大半，即已经求得了从0到任意两个数字之间的出现1的次数；但是这是不能简简单单的相减就行，主要还要加上起始数字中出现1的个数

 

这里附上java代码：

import java.util.Scanner;

public class NumberOfOnes {
private int getNine(int number)// 此方法计算特殊情况（即当所有位为9时的情况）
{
int n = String.valueOf(number).length();
int result = (int) (n * Math.pow(10, n - 1));
return result;
}

private boolean isNine(int number)// 判断number是否是一个所有位全为9的数字
{
String str = String.valueOf(number);
for (int i = 0; i < str.length(); i++) {
if (str.charAt(i) != '9') {
return false;
}
}
return true;
}

private int getSpecial(int number)// 此方法计算一位数字时的情况
{
if (number == 0) {
return 0;
} else {
return 1;
}
}

private int getBig(int number)// 当两个数首位相等，且为1时，计算1出现的次数
{
int n = deviceFirst(number) + 1;
return n;
}

private int deviceFirst(int number)// 获取去掉首位的数字
{
int newNumber = number
% (int) Math.pow(10, String.valueOf(number).length() - 1);
return newNumber;
}

private int[] getDevicedNumber(int number) {
int[] array = new int[2];
char[] str = String.valueOf(number).toCharArray();
str[0]--;
for (int i = 1; i < str.length; i++) {
str[i] = '9';
}
String s = String.valueOf(str);
array[0] = Integer.parseInt(s);
array[1] = array[0] + 1;
return array;
}

private int getNumberOfOne(int begin, int end)// 初次调用只能以零开始
{
if (begin == 0 && String.valueOf(end).length() == 1)// end是一位数时
{
return getSpecial(end);
}

if (begin == 0 && isNine(end))// end全为9的情况
{
return getNine(end);
}

String num1 = String.valueOf(begin);
String num2 = String.valueOf(end);
if (num1.charAt(0) == num2.charAt(0))// begin和end首位相等的情况
{
if (num1.charAt(0) == '1')// 最大位都为1
{
return getBig(end) + getNumberOfOne(0, deviceFirst(end));
} else// 最大位都不为1
{
return getNumberOfOne(0, deviceFirst(end));
}
}

int[] array = getDevicedNumber(end);// 其它情况
return getNumberOfOne(0, array[0]) + getNumberOfOne(array[1], end);
}

private int getNowNumber(int number) {
String str = String.valueOf(number);
int n = 0;
for (int i = 0; i < str.length(); i++) {
if (str.charAt(i) == '1') {
n++;
}
}
return n;
}

public void getNumberOfOneMain() {
Scanner reader = new Scanner(System.in);
int begin = reader.nextInt();
int end = reader.nextInt();
int result = getNumberOfOne(0, end) - getNumberOfOne(0, begin)
+ getNowNumber(begin);
System.out.println(result);
}
}