关系代数――附加的关系运算(2)

本节介绍附加的关系运算之除运算。

 

除(÷)

 

 

除是写为 R ÷ S 的二元关系。其结果由 R 中元组到唯一于 R 的属性名字(就是说只在 R 表头中而不在 S 表头中的属性)的限制构成，并且它们与 S 中的元组的所有组合都存在于 R 中。例如下面的“完成”和“DB项目”和它们的除法:

完成表 Student  Task Fred Database1 Fred Database2 Fred Compiler1 Eugene Database1 Eugene Compiler1 Sara Database1 Sara Database2

DB项目表 Task Database1 Database2

“完成” ÷“DB项目”   Student   Fred Sara

为了更好的说明，我们在mysql中定义上面的表，并插入相应的数据。

mysql> create table finish(Student varchar(10), Task varchar(10));
Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)

mysql> create table DB_Project(Task varchar(10));
Query OK, 0 rows affected (0.01 sec)
mysql> select * from finish;
+---------+-----------+
| Student | Task      |
+---------+-----------+
| Fred    | Database1 |
| Fred    | Database2 |
| Fred    | Compiler1 |
| Eugene  | Database1 |
| Eugene  | Compiler1 |
| Sara    | Database1 |
| Sara    | Database2 |
+---------+-----------+
7 rows in set (0.00 sec)

mysql> select * from DB_Project;
+-----------+
| Task      |
+-----------+
| Database1 |
| Database2 |
+-----------+
2 rows in set (0.00 sec)

如果“DB项目”包含数据库项目的所有任务，则这个除法的结果精确的包含已经完成了数据库项目的所有学生。

更形式的说除法的语义定义如下:

R ÷  S = {  t[ a₁,...,a_n] : t    R    s    S ( ( t[ a₁,...,a_n]    s)    R) }

这里的 {a₁,...,a_n} 是唯一于 R 的属性名字的集合而 t[a₁,...,a_n] 是 t 到这个集合的限制。通常要求在 S 的表头中的属性名字是 R 的表头的属性名字的子集，否则运算的结果永远为空。

 

除运算可以用基本运算模拟如下。

我们假定 a₁,...,a_n 是唯一于 R 的属性名字而 b₁,...,b_m 是 S 的属性名字。

1. 在第一步中我们投影 R 于它的唯一属性上，并接着构造它们与 S 的元组的所有组合:

T := π _a1,...,an( R) ×  S

在上面例子中，T 将是表示所有学生(因为 Student 是“完成”表的唯一键/属性)与所有给定任务的组合的表。

相应T的SQL语句和运算结果为：

mysql> select distinct * from -> (select Student from finish) -> finish, DB_Project; +---------+-----------+ | Student | Task | +---------+-----------+ | Fred | Database1 | | Fred | Database2 | | Eugene | Database1 | | Eugene | Database2 | | Sara | Database1 | | Sara | Database2 | +---------+-----------+ 6 rows in set (0.00 sec)

2.在下个步骤中，我们从这个关系中减去 R:

U :=  T -  R

注意在 U 的都是 R 中没有出现的可能的组合。

相应U的SQL语句和运算结果为：

mysql> select distinct * from
    -> (select Student from finish)
    -> finish, DB_Project
    -> where (Student, Task) not in
    -> (select * from finish);
+---------+-----------+
| Student | Task      |
+---------+-----------+
| Eugene  | Database2 |
+---------+-----------+
1 row in set (0.00 sec)

3.所以如果现在做到唯一于 R 的属性名字的投影，则我们有了 R 中元组的限制，它们与 S 的元组的所有组合未都出现在 R 中:

V := π _a1,...,an( U)

相应V的SQL语句和运算结果为：

mysql> select distinct Student from
    -> (select Student from finish)
    -> finish, DB_Project
    -> where (Student, Task) not in
    -> (select * from finish);
+---------+
| Student |
+---------+
| Eugene  |
+---------+
1 row in set (0.00 sec)

4.剩下的就是投影 R 到唯一于它的属性名字并减去 V:

W := π _a1,...,an( R) -  V

相应W的SQL语句和运算结果为：

mysql> select distinct Student from finish
    -> where Student not in
    -> (select distinct Student from
    -> (select Student from finish)
    -> finish, DB_Project
    -> where (Student, Task) not in
    -> (select * from finish));
+---------+
| Student |
+---------+
| Fred    |
| Sara    |
+---------+
2 rows in set (0.00 sec)
mysql> select * from (select distinct customer_name from r) r,s;
+---------------+-------------+
| customer_name | branch_name |
+---------------+-------------+
| Hayes         | Brighton    |
| Johnson       | Brighton    |
| Jones         | Brighton    |
| Lindsay       | Brighton    |
| Smith         | Brighton    |
| Turner        | Brighton    |
| Hayes         | Downtown    |
| Johnson       | Downtown    |
| Jones         | Downtown    |
| Lindsay       | Downtown    |
| Smith         | Downtown    |
| Turner        | Downtown    |
+---------------+-------------+
12 rows in set (0.00 sec)