union-find算法分析(2)

2.3.weighted-quick-union——加权quick-union算法

上篇的quick-union算法的效率之所以低(平方级别)，最主要的原因是union(p,q)方法，随意将一棵树连接到另一棵树上(一棵树对应一个连通分量)。

1.如果是小树(高度低)连接到大树的根节点(高度高)，则小树的高度加1，而整个树的高度不变。

2.如果是大树(高度高)连接到小树的根节点(高度低)，则大树的高度加1，而整个树的高度由原来的小树高度变成大树高度加1。

根据quick-union算法分析，find(p)访问的数组的次数与节点p所在的高度有关。高度越高，访问数组的次数越多。

由此可见，为了减少访问数组的次数，提高算法效率，在执行union(p,q)操作时，确保是情况1，即小树连接到大树上。为此，需要一个数组sz[]来记录触点p所在的连通分量含有的触点(触点越多，对应的树的节点越多，即为大树)。

3.当然还有一种特殊情况，即p和q所在的连通分量对应的树高度相等，此时无论是p连接到q还是q连接到p，树的高度都会增加。在加权quick-union算法中，这是最坏的情况。

因此，由加权quick-union构成的树的高度将远小于未加权所构造的树的高度。

   1: public class WeightedQuickUnionUF extends QuickUnionUF {

   2:  

   3:     /**

   4:      * sz[p]表示触点p所在的连通分量所含的触点数

   5:      */

   6:     private int[] sz;

   7:  

   8:     public WeightedQuickUnionUF(int N) {

   9:         super(N);

  10:         // TODO Auto-generated constructor stub

  11:         sz = new int[N];

  12:         for (int i = 0; i < N; i++)

  13:             sz[i] = 1;// 初始化时，每个触点都是一个连通分量

  14:     }

  15:  

  16:  

  17:     @Override

  18:     public void union(int p, int q) {

  19:         // TODO Auto-generated method stub

  20:         int pRoot = find(p);

  21:         int qRoot = find(q);

  22:         

  23:         if(pRoot == qRoot)

  24:             return;

  25:         

  26:         if(sz[pRoot] < sz[qRoot]){//当触点p所在的连通分量对应的树是小树，则连接到q的连通分量上去

  27:             id[pRoot] = qRoot;

  28:             sz[qRoot] += sz[pRoot];//不要忘了，被连接的树包含的节点数要相应的增加

  29:         }else{//当触点p所在的连通分量对应的树是大树，则q所在的连通分量连接到p的连通分量上去

  30:             id[qRoot] = pRoot;

  31:             sz[pRoot] += sz[qRoot];

  32:         }

  33:         

  34:         count -- ;

  35:     }

  36:     

  37:     public static void main(String[] args) {

  38:         DirectInput.directInput(args);

  39:         int N = StdIn.readInt();

  40:         UF uf = new WeightedQuickUnionUF(N);

  41:         for(int i=0;i<N;i++){

  42:             int p = StdIn.readInt();

  43:             int q = StdIn.readInt();

  44:             

  45:             if(uf.connected(p, q)) continue;

  46:             

  47:             uf.union(p, q);

  48:             StdOut.println(p + " " + q);

  49:         }

  50:         StdOut.println(uf.count() + " components");

  51:     }

  52:  

  53: }

 

测试结果

算法分析

1.最坏的情况：将要被归并的树的大小总是相等的(且总是2^n)。每个树均是含有2^n节点的满二叉树，因此高度正好是n。当归并两个含有2^n节点的树时，得到含有2^(n+1)个节点的书，由此树的高度增加到n+1。由此可知，加权quick-union算法是对数级别的。即对于N个触点所构成的树最高的高度为lgN。

2.情况1的最坏的情况是怎么得来的？

简单的分析可知，加权quick-union算法不可能会得到线性表(未加权的quick-union会产生退化成线性表的树)。因此，每层的节点越多，树的高度就越小。最坏的情况就是满二叉树。

3.加权quick-union算法处理N个触点，M条连接时最多访问数组cMlgN次。(c为常数。每处理一条连接，调用一次union(p,q)方法。而union(p,q)是lgN级别的。lg[height(p)] + lg[height(q)] + 5 = clgN，M次即为cMlgN)。而quick-find算法以及某些情况下未加权的quick-union算法至少访问数组MN次。