【算法】算法的艺术（二）
国民生产总值多少年翻番？
假设我国工农业总产值以每年9%的速度增长，问多少年翻一番？
实例解析：
翻一番意味着变为原来的两倍，而每年只能增加9%，相当于每年乘上一个1.09。我们可以在程序中不断地乘以1.09，并对此进行计数，若已经达到两倍，则计数器中的值便是需要经过的年数。
这是一个事先无法确定循环次数的循环。
#include<stdio.h>
int main()
{int n = 0;
float y = 1; //设当年的产值为1，类型不能是int
while( y < 2.0){ //以产值达到2作为结束循环的条件
y *= 1.09;
n++; //每乘一次1.09就意味着过了一年
}
printf(“%d\n”, n);
getch();
return 0;
}
这段程序用for循环也能实现：
#include<stdio.h>
int main()
{int n;
float y = 1;
for(n = 0; y < 2.0; n++) //循环条件不是由计数器控制的
y *= 1.09;
printf(“%d\n”, n);
getch();
return 0;
}
兑换硬币
一块钱人民币用1分、2分、5分的硬币兑换，共有多少种换法？
实例解析：
这其实是第三章中的一个例子，这里我们给出另一种解题思路。
一块钱若全用5分硬币兑换，则应该换20个；若全用2分硬币，则是50个；若全用1分硬币，则是100个。
假设我们用m个5分的，n个2分的，则这两个变量的取值范围分别是：0<=m<=20, 0<=n<=50。
m有21种取值，n有51种取值。
我们让代表“5分个数”的m和代表“2分个数”的n各自在范围内取一个值，若这两种硬币加起来超过100分（一元钱），则这个m、n的组合是不可用的，若加起来不超过（小于等于）100，不足100的部分可以用1分的硬币补足，因此这个组合应为一种可用的兑换方法。
让m和n取遍所有可能的组合，便可知道共有多少兑换方法。
代码如下：
#include <stdio.h>
int main()
{int n, m, k, count = 0; //count用来计数
for(m = 0; m <= 20; m++)
for(n = 0; n <= 50; n++)
if(m*5 + n*2 <= 100)
count++;
printf(“共有%d种兑换法\n”, count);
getch();
return 0;
}
也是用的穷举法，但仅对m和n的取值穷举，所以较之前少了一层循环，效率更高。
里程碑上的对称数
一辆匀速行驶的汽车，清晨，司机看到历程碑上的数是一个对称数：67576，2小时后他才又看到一个对称数，问汽车速度多少？
实例解析：
要知道汽车速度，必须知道第二个对称数是多少。我们采用下面的方法找第二个对称数：用循环对67576之后的每一个数都判断一下，看是否对称数，如果是，则停止循环（用break），若不是，则继续下一个数的判断……
这也是一个事先无法确定循环次数的循环，循环条件的写法有两种：
（1）循环条件不写或写成1，在循环体中设置退出的条件。
（2）事先设置一个变量作标志（值为0意味着未找到对称数，为1表示已找到），循环条件是该变量等于0。
代码如下：
方法1：
#include<stdio.h>
int main()
{long i; //超过32767, 所以用long
int a,b,c,d,e; //用来存储5个数字
for(i = 67577; ; i++){ //不写循环条件意味着条件始终成立
a = i%10; //个位上的数字
b = i/10%10; //十位上的数字
d = i/1000%10; //千位上的数字
e = i/10000; //万位上的数字
if(a == e && b == d) //遇到对称数则退出循环
break;
}
printf(“汽车速度是：%5.2f\n”, (i-67576)/2.); //除以“2.”
getch();
return 0;
}
方法2：
#include<stdio.h>
int main()
{long i; //超过32767, 所以用long
int a,b,c,d,e; //用来存储5个数字
int flag = 0; //用作是否找到对称数的标志
for(i = 67577; flag == 0; i++){
a = i%10; //个位上的数字
b = i/10%10; //十位上的数字
d = i/1000%10; //千位上的数字
e = i/10000; //万位上的数字
if(a == e && b == d) //遇到对称数
flag = 1;
}
printf(“汽车速度是：%5.2f\n”, (i-67576-1)/2.);
getch();
return 0;
}
注意：
方法2计算平均速度时，被除数要多减一个1
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
辗转赋值法求表达式的值
求表达式：前20项的和，保留三位小数。
实例解析：
该表达式有两个特点：
(1) 从第二项开始，每一项的分子等于前一项的分母，而分母等于前一项分子分母之和；
(2) 一正一负，正负号交错。
对于第一个特点，我们采用前面介绍的辗转赋值的方法。这个程序需要用循环来求和，我们用变量a、b分别表示第一项的分子分母，可用a/b计算出第一项值，之后，先用b=a+b计算下一项的分母，再用a=b-a使上一项的分母变成下一项分子，然后进入下一次循环计算下一项的值。
对于第二个特点，我们可以设一个变量sign = 1，每循环一次，给sign乘以-1，这样a/b* sign便是需要合并到sum中的值，其符号恰好一正一负。
int main()
d{float sum = 0;
int a = 1, b = 1, sign = 1, i ;
for(i = 1; i <= 20; i++){
sum += ((float)a/b) * sign;
b = a + b; //计算下一项的分母
a = b - a; //计算下一项的分子
sign *= -1; // sign变号
}
printf(“%5.3f\n”, sum);
getch();
return 0;
}
注意：
程序中sum += ((float)a/b) * sign;一行若不进行强制类型转换，则每一项结果都是0，最终结果也是0。
随机数的生成
有200人，编号从1到200，从中随机抽取10人获奖，请编程完成抽奖。
实例解析：
现实生活中很多时候需要随机生成一些数，比如：随机抽奖，随机生成试卷等。程序中的随机数，需要随机函数来生成，TC中与随机数有关的函数有rand()、srand()、random()、randomize()，他们都是在stdlib.h中定义的，其原型及作用分别是：
int rand();
作用：生成一个随机数，范围0~32767。
void srand(unsigned seed);
作用：用seed做种子初始化随机数发生器，常用系统时间做种子：
srand(time(NULL))。 int random(int num);
作用：生成一个随机数，范围0 ~ num -1。
void randomize();
作用：用系统时间做种子初始化随机数发生器，需要包含time.h头文件。
本题目要在200人中抽取获奖者，抽取的号码范围是1~200，可以使用rand或random函数，下面两种方法都可以生成一个1~200间的随机数：
rand()%200 + 1; random(200) + 1;
本例采用后一种方法。
如果仅仅使用random(200) +1;生成随机数，每次运行程序生成的数都相同（但一次运行中多次调用random()生成的数是不同的）。若要使每次运行生成的随机数不同，必须首先使用一次随机数种子函数：
randomize(); //需要头文件time.h支持
本题需要生成10个1~200间的号码，循环十次即可：
int i, n[11];
randomize();
for(i = 1; i <= 10; i++)
{
n[i] = random(200) + 1;
}
但是这里有一个问题，就是生成的十个数有可能有重复的，如何才能避免重复？
可以采用这样的方法：循环过程中，每生成一个数，先存起来，然后与前面已经存在的每个数作比较，若有相同的，则重新生成一个新数，覆盖原来的数，直到与前面的数不重复为止。
int i, j, n[11];
randomize();
for(i = 1; i <= 10; i++){
n[i] = random(200) + 1;
for(j = 1; j < i; j++)
if(n[i] == n[j]){
i--;
break;
}
}
代码中i--的目的是，先使i减1，待执行i++后，i变回原值，这样下一次循环生成的随机数恰可以覆盖原来的数n[i]，这便是本算法的巧妙之处。
为了美观，随机数最好从小到大进行输出，故生成随机数之后，还需要排序。
本实例完整的程序是：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
int main()
{int i, j, n[11],k,t;
randomize();
for(i = 1; i <= 10; i++){
n[i] = random(200) + 1;
for(j = 1; j < i; j++)
if(n[i] == n[j]){
i--;
break;
}
}
//以下代码是选择法排序
for(i = 1; i <= 9; i++){
k = i;
for(j = i+1; j <= 10; j++)
if(n[j] < n[k])
k = j;
t = n[i];
n[i] = n[k];
n[k] = t;
}
//以下代码输出
for(i = 1; i <= 10; i++)
printf(“%5d”, n[i]);
printf(“\n”);
getch();
return 0;
}