【算法】算法的艺术（二）

国民生产总值多少年翻番？

　　　假设我国工农业总产值以每年9%的速度增长，问多少年翻一番？

　　　实例解析：

　　　翻一番意味着变为原来的两倍，而每年只能增加9%，相当于每年乘上一个1.09。我们可以在程序中不断地乘以1.09，并对此进行计数，若已经达到两倍，则计数器中的值便是需要经过的年数。

　　　这是一个事先无法确定循环次数的循环。

#include<stdio.h>
　　　int main()
　　　{int  n = 0;
　　　 float  y = 1;             //设当年的产值为1，类型不能是int
　　　 while( y < 2.0){         //以产值达到2作为结束循环的条件
　　　   y *= 1.09;
　　　   n++;                    //每乘一次1.09就意味着过了一年
　　　 }
　　　 printf(“%d\n”, n);
　　　 getch();
　　　 return 0;
　　　}　　　

　　　这段程序用for循环也能实现：

#include<stdio.h>
　　　int main()
　　　{int  n;
　　　 float y = 1;
　　　 for(n = 0; y < 2.0; n++)    //循环条件不是由计数器控制的
　　　   y *= 1.09;
　　　printf(“%d\n”, n);
　　　getch();
　　　 return 0;
　　　}

兑换硬币

　　　一块钱人民币用1分、2分、5分的硬币兑换，共有多少种换法？

　　　实例解析：

　　　这其实是第三章中的一个例子，这里我们给出另一种解题思路。

　　　一块钱若全用5分硬币兑换，则应该换20个；若全用2分硬币，则是50个；若全用1分硬币，则是100个。

　　　假设我们用m个5分的，n个2分的，则这两个变量的取值范围分别是：0<=m<=20, 0<=n<=50。

　　　m有21种取值，n有51种取值。

　　　我们让代表“5分个数”的m和代表“2分个数”的n各自在范围内取一个值，若这两种硬币加起来超过100分（一元钱），则这个m、n的组合是不可用的，若加起来不超过（小于等于）100，不足100的部分可以用1分的硬币补足，因此这个组合应为一种可用的兑换方法。

　　　让m和n取遍所有可能的组合，便可知道共有多少兑换方法。

　　　代码如下：

#include <stdio.h>
　　　int main()
　　　{int  n, m, k, count = 0;         //count用来计数
　　　 for(m = 0; m <= 20; m++)
　　　   for(n = 0; n <= 50; n++)
　　　     if(m*5 + n*2 <= 100)
　　　        count++;
　　　 printf(“共有%d种兑换法\n”, count);
　　　 getch();
　　　 return 0;
　　　}

   也是用的穷举法，但仅对m和n的取值穷举，所以较之前少了一层循环，效率更高。

里程碑上的对称数

　　　一辆匀速行驶的汽车，清晨，司机看到历程碑上的数是一个对称数：67576，2小时后他才又看到一个对称数，问汽车速度多少？

　　　实例解析：

　　　要知道汽车速度，必须知道第二个对称数是多少。我们采用下面的方法找第二个对称数：用循环对67576之后的每一个数都判断一下，看是否对称数，如果是，则停止循环（用break），若不是，则继续下一个数的判断……

　　　这也是一个事先无法确定循环次数的循环，循环条件的写法有两种：

　　　（1）循环条件不写或写成1，在循环体中设置退出的条件。

　　　（2）事先设置一个变量作标志（值为0意味着未找到对称数，为1表示已找到），循环条件是该变量等于0。

　　　代码如下：

　　　方法1：

#include<stdio.h>
　　　int main()
　　　{long  i;                       //超过32767, 所以用long
　　　 int  a,b,c,d,e;               //用来存储5个数字
　　　 for(i = 67577;    ; i++){   //不写循环条件意味着条件始终成立
　　　   a = i%10;                    //个位上的数字
　　　   b = i/10%10;                //十位上的数字
　　　   d = i/1000%10;              //千位上的数字
　　　   e = i/10000;                //万位上的数字 
　　　　if(a == e && b == d)       //遇到对称数则退出循环
　　　　   break;
　　　}
printf(“汽车速度是：%5.2f\n”, (i-67576)/2.);  //除以“2.”
getch();
　　　 return 0;
　　　}

　　　方法2：

#include<stdio.h>
　　　int main()
　　　{long  i;                       //超过32767, 所以用long
　　　 int  a,b,c,d,e;               //用来存储5个数字
　　　 int  flag = 0;                //用作是否找到对称数的标志
　　　 for(i = 67577; flag == 0; i++){   
　　　   a = i%10;                    //个位上的数字
　　　   b = i/10%10;                //十位上的数字
　　　   d = i/1000%10;              //千位上的数字
　　　   e = i/10000;                //万位上的数字 
　　　　if(a == e && b == d)     //遇到对称数
　　　　   flag = 1;
　　　}
　　　printf(“汽车速度是：%5.2f\n”, (i-67576-1)/2.);
　　　getch();
　　　 return 0;
　　　}

   注意：

   方法2计算平均速度时，被除数要多减一个1

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辗转赋值法求表达式的值

　　　求表达式：前20项的和，保留三位小数。

　　　实例解析：

　　　该表达式有两个特点：

　　　(1) 从第二项开始，每一项的分子等于前一项的分母，而分母等于前一项分子分母之和；

　　　(2) 一正一负，正负号交错。

　　　对于第一个特点，我们采用前面介绍的辗转赋值的方法。这个程序需要用循环来求和，我们用变量a、b分别表示第一项的分子分母，可用a/b计算出第一项值，之后，先用b=a+b计算下一项的分母，再用a=b-a使上一项的分母变成下一项分子，然后进入下一次循环计算下一项的值。

　　　对于第二个特点，我们可以设一个变量sign = 1，每循环一次，给sign乘以-1，这样a/b* sign便是需要合并到sum中的值，其符号恰好一正一负。    

int main()
　　　d{float sum = 0;
　　　int  a = 1, b = 1, sign = 1, i ;
　　　 for(i = 1; i <= 20; i++){
　　　   sum += ((float)a/b) * sign;
　　　   b = a + b;                   //计算下一项的分母
　　　   a = b - a;                   //计算下一项的分子
　　　   sign *= -1;                  // sign变号
　　　 }
　　　 printf(“%5.3f\n”, sum);
　　　 getch();
　　　 return 0;
　　　}

   注意：

   程序中sum += ((float)a/b) * sign;一行若不进行强制类型转换，则每一项结果都是0，最终结果也是0。

随机数的生成

   有200人，编号从1到200，从中随机抽取10人获奖，请编程完成抽奖。

　　实例解析：

　　现实生活中很多时候需要随机生成一些数，比如：随机抽奖，随机生成试卷等。程序中的随机数，需要随机函数来生成，TC中与随机数有关的函数有rand()、srand()、random()、randomize()，他们都是在stdlib.h中定义的，其原型及作用分别是：

int  rand();

　　作用：生成一个随机数，范围0~32767。

void srand(unsigned seed);

　　作用：用seed做种子初始化随机数发生器，常用系统时间做种子：

srand(time(NULL))。
int random(int num);

　　作用：生成一个随机数，范围0 ~ num -1。

void randomize();

　　作用：用系统时间做种子初始化随机数发生器，需要包含time.h头文件。

　　本题目要在200人中抽取获奖者，抽取的号码范围是1~200，可以使用rand或random函数，下面两种方法都可以生成一个1~200间的随机数：

rand()%200 + 1;
random(200) + 1;

　　本例采用后一种方法。

　　如果仅仅使用random(200) +1;生成随机数，每次运行程序生成的数都相同（但一次运行中多次调用random()生成的数是不同的）。若要使每次运行生成的随机数不同，必须首先使用一次随机数种子函数：

randomize();    //需要头文件time.h支持

　　本题需要生成10个1~200间的号码，循环十次即可：

int i, n[11];
randomize();
for(i = 1; i <= 10; i++)
{
　　  n[i] = random(200) + 1;
}

　　但是这里有一个问题，就是生成的十个数有可能有重复的，如何才能避免重复？

　　可以采用这样的方法：循环过程中，每生成一个数，先存起来，然后与前面已经存在的每个数作比较，若有相同的，则重新生成一个新数，覆盖原来的数，直到与前面的数不重复为止。

int i, j, n[11];
randomize();
for(i = 1; i <= 10; i++){
  n[i] = random(200) + 1;
  for(j = 1; j < i; j++)
     if(n[i] == n[j]){
        i--;    
        break;
     }
}

　　代码中i--的目的是，先使i减1，待执行i++后，i变回原值，这样下一次循环生成的随机数恰可以覆盖原来的数n[i]，这便是本算法的巧妙之处。

　　为了美观，随机数最好从小到大进行输出，故生成随机数之后，还需要排序。

　　本实例完整的程序是：

#include <stdio.h>
　　#include <stdlib.h>
　　#include <time.h>
　　int main()
　　{int i, j, n[11],k,t;
　　　randomize();
　　　for(i = 1; i <= 10; i++){
　　   n[i] = random(200) + 1;
　　   for(j = 1; j < i; j++)
　　     if(n[i] == n[j]){
　　       i--;    
　　       break;
　　     }
　　　}
　　　//以下代码是选择法排序
　　　for(i = 1; i <= 9; i++){
　　　  k = i;
　　　  for(j = i+1; j <= 10; j++)
　　　    if(n[j] < n[k])
　　　       k = j;
　　　  t = n[i];
　　　  n[i] = n[k];
　　　  n[k] = t;
　　　}
　　　//以下代码输出
　　　for(i = 1; i <= 10; i++)
　　　　printf(“%5d”, n[i]);
     printf(“\n”);
     getch();
　　　return 0;
　　}