【算法】算法中的趣味数学（一）

小续

   以下是我收集的一些有趣的计算实例，希望能够提高读者的编程水平及分析问题／解决问题的能力

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

马克思手稿中的数学题

　　马克思手稿中有一道趣味数学题：有30个人，其中有男人、女人和小孩，在一家饭馆吃饭共花了50先令。若每个男人花3先令，每个女人花2先令，每个小孩花1先令。问男人、女人和小孩各有几人？

　　　实例解析：

　　　设x,y,z分别代表男人、女人和小孩的人数。按题目要求，可得到下面方程：

　　　               x + y + z = 30                (1)

　　　               3x + 2y + z = 50              (2)

　　　（2）-（1）可得

　　　               2x + y = 20                  (3)

　　　由(3)式可知，x的变化范围是1～10 （根据题意，男人、女人、小孩都有，故x、y、z都不能为0）。  

　　  程序如下：

#include <stdio.h>
int main()
{
    int x,y,z,count = 0;
    clrscr();
    puts(" >> The solutions are:");
    printf("  No.      Men     Women   Children\n");
    printf("--------------------------------\n");
    for(x = 1; x <= 10; x++)
    {
        y = 20 - 2*x;                   //由(3)式求y
        z = 30 �C x - y;                //由(1)式求z
        if(3*x + 2*y + z == 50 && y && z) //当前组合是否满足式(2)
        printf(" <%2d> | %2d | %2d | %2d\n", ++count,x,y,z);
    }
    printf("--------------------------------\n");
    printf(" Press any key to quit...");
    getch();
    return 0;
}

配对新郎和新娘

　　3对情侣参加婚礼，3个新郎为A、B、C，3个新娘为X、Y、Z。有人不知道谁和谁结婚，于是询问了6位新人中的3位，但听到的回答是这样的：A说他将和X结婚；X说她的未婚夫是C；C说他将和Z结婚。这人听后知道他们在开玩笑，全是假话。请编程确认谁和谁是一对。

　　实例解析：

　　分表将A、B、C用1,2,3表示，将X和A结婚表示为“X == 1”，将Y不与A结婚表示为“Y !＝1”，按题目叙述可写出下列表达式：

        X != 1           A不与X结婚

        X != 3           X的未婚夫不是C

        Z != 3           C不与Z结婚

　　穷举满足以上条件所有可能的情况。

　　程序如下：

#include <stdio.h>
int main()
{
    int x,y,z;
    puts(" >> The solutions are:");
    printf("-------------------------------------\n");
    for(x = 1; x <= 3; x++)          //穷举x的全部可能配偶
        for(y = 1; y <= 3; y++)        //穷举y的全部可能配偶
            for(z = 1; z <= 3; z++)      //穷举z的全部可能配偶
                if(x!=1 && x!=3 && z!=3 && x!=y && x!=z && y!=z)
                {
                    printf("X will marry to %c.\n", 'A'+x-1);
                    printf("Y will marry to %c.\n", 'A'+y-1);
                    printf("Z will marry to %c.\n", 'A'+z-1);
                }
    printf("--------------------------------------\n");
    printf(" Press any key to quit...");
    getch();
    return 0;
}

分糖果

　　10个小孩围成一圈分糖果，老师分给第一个小孩10块，第二个小孩2块，第三个小孩8块，第四个小孩22块，第五个小孩16块，第六个小孩4块，第七个小孩10块，第八个小孩6块，第九个小孩14块，第十个小孩20块。然后所有的小孩同时将手中的糖分一半给右边的小孩，糖块为奇数的可向老师再要一块。问这样的操作经过几次，大家手中的糖一样多？每人有多少块糖？

　　实例解析：

　　分糖过程是一个机械的重复过程。算法完全可以按照描述的过程进行模拟。

　　程序如下：

#include <stdio.h>
void print(int s[]);
int judge(int c[]);
int j = 0;
int main()
{
    int sweet[10] = {10,2,8,22,16,4,10,6,14,20};
    int i, t[10], k;
    printf("Child No.  1   2  3  4  5  6  7  8  9  10\n");
    printf("-------------------------------------\n");
    printf("Round No.|\n");
    print(sweet);               //输出每个人手中糖的块数
    while(judge(sweet))
    {      //若不满足要求则继续进行循环
        for(i = 0; i < 10; i++) 
            t[i] = sweet[i] = sweet[i]/2; //每个人手中的糖分成两半
        for(k = 0; k < 9; k++)
        { 
            sweet[k+1] = sweet[k+1] + t[k]; //分出的一半糖给右边
            if(sweet[k+1]%2!=0)
                sweet[k+1]++;
        }
        sweet[0] += t[9];
        if(sweet[0]%2!=0)
            sweet[0]++;
        print(sweet);             //输出当前每个孩子中手中的糖数
    }
    printf("-------------------------------------\n");
    printf("\n Press any key to quit...");
    getch();
    return 0;
}
int judge(int c[])
{
    int i;
    for(i = 0; i < 10; i++)   //判断每个孩子手中的糖是否相同
　　  if(c[0] != c[i])
            return 1;          //不相同返回 1
    return 0;
}
　　
void print(int s[])      //输出数组中每个元素的值
{
    int k;
    printf("      <%2d> | ", j++);
    for(k = 0; k < 10; k++)
        printf("%4d", s[k]);
    printf("\n");
}

波瓦松的分酒问题

　　法国著名数学家波瓦松(Poison)在青年时代研究过一个有趣的数学问题：某人有12品脱的啤酒一瓶，想从中倒出6品脱，但他没有6品脱的容器，仅有一个8品脱和5品脱的容器，怎样才能将啤酒分成两个6品脱呢？

　　实例解析：

　　将12品脱酒用8品脱和5品脱的空瓶平分，可以抽象为解不定方程：

　　             8x - 5y = 6

　　其意义是：从12品脱的瓶中向8品脱的瓶中倒x次，并且将5品脱瓶中的酒向12品脱的瓶中倒y次，最后在12品脱的瓶中剩余6品脱的酒。

　　分别用a，b，c代表12品脱、8品脱和5品脱的瓶子，求出不定方程的整数解，按照不定方程的意义则倒酒法为：

　　    a→b→c→a

　　     x     y

　　倒酒的规则如下：

　　（1）按a→b→c→a的顺序；

　　（2） b倒空后才能从a中取；

　　（3） c装满后才能向a中倒。

　　程序如下：

#include <stdio.h>
void getti(int a, int y, int z);
int i;           //最后需要分出的重量
int main()
{
    int a, y, z;
    printf(">>Input Full bottle a,Empty y,z, and Get volumes i:\n");
    //a第一个瓶的容量  y:第二个瓶的容量  z:第三个瓶的容量
    printf(" >> ");
    scanf("%d%d%d%d", &a, &y, &z, &i);
    getti(a, y, z);           //按a -> y -> z -> a的操作步骤
    printf("\n Press any key to quit...");
    getch();
    return 0;
}
void getti(int a, int y, int z)
//a:第一瓶的容量  y:第二个瓶的容量 z:第三个瓶的容量
{
    int b = 0, c = 0, j = 0;  // b:第二瓶酒重  c:第三瓶酒重 j: 步数
    puts(" >> The division steps are as follows.\n");
    printf(" Bottle:    a<%d> b<%d> c<%d>\n",a,y,z);
    printf("-----------------------------\n");
    printf(" Step No.|\n");
    printf("   <%d>   | %4d %4d %4d\n",j++,a,b,c);
    while(a!=i && b!=i && c!=i )
    { //当三个瓶的酒都!=i
        if(!b)
        {           //如果第二瓶为空，则从第一瓶倒入第二瓶
            a -= y;
             b = y; 
        }
        else if(c == z)
        {     //如果第三瓶满，则将第三瓶倒入第一瓶中
            a += z;
            c = 0; 
        }
        else  if(b > z-c)
        {  //如果第二瓶的酒>第三瓶的剩余空间
            b -= (z-c);  //由第二瓶倒满第三瓶，第二瓶保留剩余部分
            c = z; 
        }
        else
        {          //将第二瓶全部倒入第三瓶中
            c += b;
            b = 0;
        }
        printf("   <%d>   | %4d %4d %4d\n",j++,a,b,c);
    }
    printf("-----------------------------\n");
}