零零散散学算法之详解RMQ & LCA

深入理解RMQ & LCA

 

正文

 

第一节 RMQLCA概述

 

       LCA:Lowest Common Ancestor,译为最近公共祖先。其解释就是说:在有根树中,找出树中任意两个节点最近的公共祖先,或者说找到任意两个节点离树根最远的公共祖先。

 

       RMQRange Minimum Query,译为区间最小值查询。其解释就是说:对于含有N个元素的数列A,在数列中找到两个指定索引之间的最小值及最小值的位置。

 

第二节 RMQ Algorithm

 

       首先我们来看RQM算法,我将会根据预处理和查询的速度介绍几种解决该问题的方法。

   

    设有数组A[N],其表示如下:

    要求求得区间(2,7)的最小元素,如下图所示:

解法一:直接遍历区间

 

       看到这个问题之后,我们最先想到的就是对区间的这些数进行一次遍历,就可以找到区间的最值,因此查询的时间为O(M)。但是,当数据量非常大并且查询很频繁时,直接遍历序列的效果就不是那么理想了。因为每查询一次就得对序列做一次遍历,对于大数据量这显然不能满足要求了。不过对于小数据量,这种算法倒是不错的选择!  

       查询:O(M)

算法的代码如下:

int MaxNum = 0; for(i = 0; i < range; i++) {    /**查找最大值**/    if(array[i] > MaxNum)    {       MaxNum = array[i];    } }

解法二:切割法

 

       解法一中查询的速度为O(M),如果每次查询都这样的话,那真就成了龟速了。于是我们对解法一做了预处理,这就是该节要讲的:切割法。

    首先,我们将序列分成sqrt(N)个部分,用数组M[sqrt(N) ]来表示每个部分中最小的值的下标,即这个最小数的位置。对于数组M,我们只需对原序列进行一次遍历就可以得到M。如下图所示:

       接下来我们来求RMQ[27]。为了得到区间[27]的最小值,我们需比较A[2]A[M[1]]A[6],以及A[7],并得到他们中最小值的下标。

 

    分析:其实,这种方法较第一种方法而言并没有实质的改进,甚至还不如方法一。至于为什么这样做,我的解释是:我们是基于查询快慢的角度上来比较的,说白了,就是我们追求的是查询速度,所以说只要查的快了,先做一些预处理也是值得的(解法四正是基于这种思想)现在我们根据上面的例子来看看法二,当做完预处理之后,得到了数组M,此时我们要求区间的最值,那么我们只需将在区间内,包含数组M的值以及包含两个边界的值作比较就行,这样的话,查询的次数:O(M) <= 查询次数 < O(M) + K,其中K < sqrt(N)。

 

解法三:排序

 

       解法二已经提到我们的目的是查得快,那么我们可对选择区间的这M个数据进行排序,然后就可以直接得到最小值。但是如果做排序的话,会有很大的缺陷。我们来看看。

 

       分析:我们选择快速排序,O(M * LogM),但是快速排序会改变序列中数的相对位置,因此用快排的话,为了保证原数据的顺序不变,我们还得用O(M)的空间来维护原序列,因此这样的消耗是很大的。附注:复杂度为O(M * M)的排序算法在这就不��嗦了!你懂得!

    查询:O(1)

OK,我们来实现我们的想法,代码如下:

快速排序 int partition(int *array, int low, int high) { 	int	key = array[high]; 	int	i = low; 	int	j = high;  	while(i < j) 	{ 		while(array[i] <= key && i < j) 		{ 			i++; 		} 		array[j] = array[i];  		while(array[j] >= key && i < j) 		{ 			j--; 		} 		array[i] = array[j]; 	} 	array[i] = key; 	 	return i; }  void quicksort(int *array, int low, int high) { 	int	index; 	int	i = low; 	int	j = high;  	if(i < j) 	{ 		index = partition(array, low, high); 		 		quicksort(array, low, index - 1); 		quicksort(array, index + 1, high); 	} }

排完序之后就可以直接得到最值了!

 

解法四:Sparse Table(ST) algorithm

 

       ST算法是一种比较高效的在线处理RMQ问题的算法,所谓在线算法,是指每输入一个查询就会马上处理这个查询。ST算法首先会对序列做预处理,完成之后就可以对查询做回答了。

 

       分析:

               预处理:O(N * LogN)。

               查询:O(1),这样的查询正是我们想要的

 

好了,我来详细讲述一下ST算法:

 

       预处理:首先用维护一个数组M[N][LogN]M[i][j]的值是从原序列Ai位置开始,连续2j 个元素的最小值的下标,如下所示:

 

       那么,我们如何计算M[i][j]呢?

       我们采用DP的思想将区间分成两部分,即M[i][j - 1]M[i][2^(j - 1)]。现在我们只需比较这两个子区间就可以得到M[i][j]了。比较规则如下:

  于是乎,就可按照此写出代码:
void Proprocessing(int M[N][logN], int *A, int N) { 	int	i, j; 	 	for(j = 1; (1 << j) < N; j++) 	{ 		for(i = 0; (i + (1 << j) - 1) < N; i++) 		{ 			if(A[ M[i][j - 1] ] < A[ M[i + (1 << (j - 1))][i - 1]]) 			{ 				M[i][j] = M[i][j - 1]; 			} 			else 			{ 				M[i][j] = A[ M[i + (1 << (j - 1))][i - 1]]; 			} 		} 	} }

解法五:线段树

 
       我们也可用线段树来解决RMQ问题,如需了解线段树,请到此一游:
       线段树:http://en.wikipedia.org/wiki/Segment_tree
 
线段树的构造口诀:

  ok,我们根据口诀,并用上面的例子构造了线段树,如下:

         那么将线段树应用到RMQ问题中,首先,维护一个有2^([logN] + 1 + 1) 元素,名为M的数组,即M[2^([logN] + 1 + 1)],我先来解释一些数组M的意义:M[i]表示已划分节点区间的最小值的位置(下标)。
 
    知道了这些,那我们就通过代码来实现线段树的构造,并通过节点所代表的值来计算得到数组M。代码如下:
void init_tree(int node, int low, int high, int *array, int *M) { /***node:表示线段树中的某个节点 ****low	:表示低索引 ****high:表示高索引 ****array:表示原数组 ****M:	表示维护下标的数组 ***/         if(low == high)	//为叶子节点         {                 M[node] = low;         }         else         {                 init_tree(2 * node, low, (low + high)/2, array, M);                 init_tree(2 * node + 1, (low + high)/2 + 1, high, array, M);                  if(array[ M[2 * node] ] <= array[ M[2 * node + 1] ])	//拿到较小值的下标                 {                         M[node] = M[2 * node];                 }                 else                 {                         M[node] = M[2 * node + 1];                 }         } }
通过代码,可得到构造线段树的复杂度为O(N)。
 
       线段树构造成功,接下来就是查询了。我们知道,线段树查询所需的时间为O(LogN)。因为我们在前面已经了解了线段树的几种操作,所以查询在这就不赘述了,直接看代码吧!
int query(int node, int low, int high, int *a, int *b, int i, int j) { /***node:表示线段树中的某个节点 ****low	:表示低索引 ****high:表示高索引 ****array:表示原数组 ****M:	表示维护下标的数组 ****i, j:表示要查询的区间 ***/ 	int	s, t; 	if(i > high || j < low) 		return -1;  	if(low >= i && high <= j) 		return b[node];	//返回最小值的下标  	s = query(2 * node, low, (low + high)/2, a, b, i, j); 	t = query(2 * node + 1, (low + high)/2 + 1, high, a, b, i, j);  	if(s == -1) 		return b[node] = t; 	if(t == -1) 		return b[node] = s;  	if(a[s] <= a[t]) 		return b[node] = s; 	else 		return b[node] = t; }


第三节 LCA Algorithm

 
       LCA算法的概念我们已经知道了,那我们就来看看它的实现过程吧!
 
       对于一棵树,在这我用二叉树,如下图所示。我们要找节点8和节点9的最近公共祖先,即节点2。
 
       附注:有些朋友说这个问题可以当做两条链表是否相交的问题来解决,我们只需分别得到两个节点到根节点的路径,而这两条路径就是两条链表,问题就迎刃而解了。显然这是可行的。
 

 

战前准备:

       数组T[i]:表示树中某个节点i的父节点;

       数组L[i]:表示树中的某个节点i。

       维护数组:P[N][LogN]:其中,P[i][j]表示树中i节点的第j个祖先。

 

实现的过程如下:

 

利用二分检索判断节点p和节点q是否在树的同一层:

       如果在同一层,那么我们通过DP思想,不断地求LCA(p = P[p][j]q = P[q][j]),一旦 p = q就停止,因为此时pq的父节点是一样的,也就是说我们找到了最近公共祖先。

    如果不在同一层,如果p > q,也就是说p相对与qp在树的更深层。此时,我们仍然通过DP思想来找到qp的祖先在同一层的节点,即q = p_祖先。接下来就可按照在同一层的做法做了。

 

实现就是这么简单。

首先是预处理得到维护数组P[N][LogN]:

void preprocessing(int *t, int n, int p[][max]) { 	int	i, j;  	for(i = 0; i < n; i++) 		p[i][0] = t[i];  	for(j = 1; (1 << j) <= n; j++)     {         for(i = 0; i < n; i++)         {             if(p[i][j - 1] != -1) 				p[i][j] = p[p[i][j - 1]][j - 1];         }     } }

接下来就是查询了,如下:

int query(int *t, int *l, int s, int t, int n, int p[][max]) { 	int	tmp, lg, i; 	if(l[s] < l[t]) 	{ 		tmp = s;s = t;t = tmp; 	}  	for(lg = 1; (1 << lg) <= l[s]; lg++);  	for(i = lg; i >= 0; i--) 	{ 		if((l[s] - (1 << i)) >= l[t]) 			s = p[s][i]; 	}  	if(s == t) 		return s;  	for(i = lg; i >= 0; i--) 	{ 		if(p[s][i] != -1 && p[s][i] != p[t][i]) 		{ 			s = p[s][i]; 			t = p[t][i]; 		} 	} 	return t[s]; }

       上面说的LCA的这种算法应该是最容易想到的,预处理过程O(NLogN),查询O(LogN)。还有一种类似于RMQ分割法德算法,我先就不在这赘述了,以后有时间一定补上。

 

第四节 结束语

 

       想想、写写、画画.......

 

后续:本文后半部分拖得周期较长,因此写的比较匆忙。如果本文的内容有任何不妥之处,请指正!

 

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