最大子序列和问题
问题描述：
<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><span style="font-size:18px">给定一个整数序列，a0, a1, a2, …… , an（项可以为负数），求其中最大的子序列和。如果所有整数都是负数，那么最大子序列和为0；</span></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>
<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr>例如：对于序列-2， 11， -4， 13， -5， –2。 所求的最大子序列和为20（从11到13，即从a1到a3）。</wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>
<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr>用于测试下面代码的的主函数代码如下：（注意要更改调用的函数名）</wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>
int main(int argc, char **argv)
{
vector<int> a;
a.push_back(-2);
a.push_back(11);
a.push_back(-4);
a.push_back(13);
a.push_back(-5);
a.push_back(-2);
int result;
result = maxSubSum1(a); //在这里更改调用的函数名 cout<<result<<endl; //正确结果为 20 return 0;
}
方法一：对所有的子序列求和，在其中找到最大的
<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><span style="font-size:18px">这是最容易想到的，也是最直接的，就是对<span style="padding-bottom:0px; border-right-width:0px; margin:0px; padding-left:0px; padding-right:0px; border-top-width:0px; border-bottom-width:0px; border-left-width:0px; padding-top:0px">所有的子序列求和</span>，代码如下：</span></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>
int maxSubSum1( const vector<int> &a )
{
int maxSum = 0;
for(int i=0; i<a.size(); i++ )
{
for(int j=i; j<a.size(); j++ )
{
int thisSum =0;
for( int k=i; k<=j; k++ )
{
thisSum += a[k];
}
if(thisSum>maxSum)
{
maxSum = thisSum;
}
}
}
return maxSum;
}
分析：
<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr>① 三层循环嵌套，时间复杂度为<span style="font-family:Arial"><span style="padding-bottom:0px; border-right-width:0px; margin:0px; padding-left:0px; padding-right:0px; border-top-width:0px; border-bottom-width:0px; border-left-width:0px; padding-top:0px"><span style="padding-bottom:0px; border-right-width:0px; margin:0px; padding-left:0px; padding-right:0px; border-top-width:0px; border-bottom-width:0px; color:rgb(255,0,0); border-left-width:0px; padding-top:0px">O(n^3)</span></span>；</span></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>
<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr>② 包含有大量的重复计算，例如i=1时： 当 j=3，则计算a1+a2+a3；j=4，则计算a1+a2+a3+a4；其中a1+a2+a3是重复计算的。</wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>
另一种思路：上面的方法在每一次循环中，固定i，并把a[i]当做起点，下面的方法将a[i]当做终点。
int maxSubSum1_2( const vector<int> &a )
{
int maxSum = 0;
for(int i=0; i<a.size(); i++ )
{
for(int j=0; j<i; j++ )
{
int thisSum =0;
for(int k=j; k<=i; k++)
{
thisSum +=a[k]; //从节点j开始 累加到节点i
if(thisSum>maxSum)
{
maxSum = thisSum;
}
}
}
}
return maxSum;
}
<wbr></wbr>
方法二：从某点开始的所有序列中，找最大的
<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><span style="font-size:18px">如果你意识到，子序列总要有一个位置开始，那么变换一下循环方式，只要求出在<span style="padding-bottom:0px; border-right-width:0px; margin:0px; padding-left:0px; padding-right:0px; border-top-width:0px; border-bottom-width:0px; border-left-width:0px; padding-top:0px">所有位置开始的子序列</span>，找到最大的。代码如下：</span></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>
int maxSubSum2( const vector<int> &a )
{
int maxSum = 0;
for(int i=0; i<a.size(); i++ )
{
int thisSum =0;
for(int j=i; j<a.size(); j++ )
{
thisSum +=a[j]; //从节点i开始 累加到结尾
if(thisSum>maxSum)
{
maxSum = thisSum;
}
}
}
return maxSum;
}
分析：
<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr>① 两层循环嵌套，时间复杂度为<span style="font-family:Arial"><span style="padding-bottom:0px; border-right-width:0px; margin:0px; padding-left:0px; padding-right:0px; border-top-width:0px; border-bottom-width:0px; border-left-width:0px; padding-top:0px"><span style="padding-bottom:0px; border-right-width:0px; margin:0px; padding-left:0px; padding-right:0px; border-top-width:0px; border-bottom-width:0px; color:rgb(255,0,0); border-left-width:0px; padding-top:0px">O(n^2)</span></span>；</span></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>
<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr>② 虽然比方法一要少，但同样包含重复计算。例如：当i=1时，要计算a1+a2+a3+a4+……；当i=2时，要计算a2+a3+a4+……；其中a2+a3+a4+……是重复的。</wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>
注意：下面是一个错误的方法，因为它的起始点固定了，每次都从a0开始，是不能保证遍历所有的子序列的。
int maxSubSum2_2( const vector<int> &a )
{
int maxSum = 0;
for(int i=0; i<a.size(); i++ )
{
int thisSum =0;
for(int j=0; j<=i; j++ )
{
thisSum +=a[j]; //从节点0开始 累加到节点i
if(thisSum>maxSum)
{
maxSum = thisSum;
}
}
}
return maxSum;
}
如果希望将固定终点，那么计算的时候就要从终点开始，依次往前累加。代码如下：
int maxSubSum2_3( const vector<int> &a )
{
int maxSum = 0;
for(int i=0; i<a.size(); i++ )
{
int thisSum =0;
for(int j=i; j>=0; j-- )
{//从节点i开始，向前累加到结尾0
thisSum +=a[j];
if(thisSum>maxSum)
{
maxSum = thisSum;
}
}
}
return maxSum;
}
方法三：从某一个正数开始
第一步：
<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><span style="font-size:18px">到目前为止，题目的信息你只用到了：“最小子序列之和为0”（若有一项大于0，那么子序列的和一定大于或等于该项，也就大于0；因为若所有项都是负数，那么结果为0</span></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>
<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr>如果你再挖掘一下题意：你就会发现，如果a[i]是负的，那么a[i]一定<span style="padding-bottom:0px; border-right-width:0px; margin:0px; padding-left:0px; padding-right:0px; border-top-width:0px; border-bottom-width:0px; border-left-width:0px; padding-top:0px">不是</span>最终所有结果子序列的<span style="padding-bottom:0px; border-right-width:0px; margin:0px; padding-left:0px; padding-right:0px; border-top-width:0px; border-bottom-width:0px; border-left-width:0px; padding-top:0px">起始点</span>。代码可以改造为：</wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>
int maxSubSum3_1( const vector<int> &a )
{
int maxSum = 0;
for(int i=0; i<a.size(); i++ )
{ //（相对方法2，新增）如果a[i]<=0,那么a[i]一定不是所要求的起点，所以直接跳过去（利用for循环中有i++）
if( a[i]<=0 )
continue;
int thisSum =0;
for(int j=i; j<a.size(); j++ )
{
thisSum +=a[j];
if(thisSum>maxSum)
{
maxSum = thisSum;
}
}
}
return maxSum;
}
第二步：
<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><span style="font-size:18px">如果你又再一步发现：<span style="padding-bottom:0px; border-right-width:0px; margin:0px; padding-left:0px; padding-right:0px; border-top-width:0px; border-bottom-width:0px; border-left-width:0px; padding-top:0px">任何负的子序列，不可能作为最优子序列的前缀</span>。</span></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>
<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr>又因为上一步已经保证，序列以正数开头a[i]>0，所以若a[i]到a[j]之间元素的序列和 thisSum<=0时，则i+1和j之间元素不会为最优子序列的前缀，可以让i=j，即不需要判断在i和j之间元素开头。代码如下</wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>
int maxSubSum3_2( const vector<int> &a )
{
int maxSum = 0;
for(int i=0; i<a.size(); i++ )
{ //（相对方法2，新增）如果a[i]<=0,那么a[i]一定不是所要求的起点，所以直接跳过去（利用for循环中有i++）
if( a[i]<=0 )
continue;
int thisSum =0;
for(int j=i; j<a.size(); j++ )
{
thisSum +=a[j];
if(thisSum>maxSum)
{
maxSum = thisSum;
}
else if( thisSum <= 0 )
{ //（相对方法3_1 新添） thisSum = 0; i = j; }
}
}
return maxSum;
}
<wbr></wbr>
第三步：
<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><span style="font-size:18px">如果你又进一步发现：因为要求序列开始元素大于0，<span style="font-family:Arial"> 若以a[i]开头的序列，a[i]>0，那么可以知道，所求的最终子序列一定不会以a[i+1]开始， 因为若到相同的元素终止，那么从a[i]开始序列，一定大于从a[i+1]开始的序列。因为s[i, k]=s[i+1, k]+a[i] 例如：a1+a2+a3>0，而又由于这时a1>0, 那么所求子序列一定不会以a2开始，因为从a1开始会更大。 更进一步，如若一个子序列thisSum>0（其中thisSum是从第m项到第n项的和），那么序列一定不会以a[m]和a[n]之间的项开始。 因为一直thisSum第一个元素a[m]是大于0的，且以a[m]开始的所有子序列都是大于0的，因为若存在子序列小于0，就会提前返回了。 例如：若程序执行到thisSum （为a2+a3+a4），若thisSum>0，则能说明，a2>0，并且a2+a3>0， a2+a3+a4>0。那么 也可以跳过a[m]和a[n]之间的项，即另 i=j。</span></span></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>
int maxSubSum3_3( const vector<int> &a )
{
int maxSum = 0;
for(int i=0; i<a.size(); i++ )
{ //（相对方法2，新增）如果a[i]<=0,那么a[i]一定不是所要求的起点，所以直接跳过去（利用for循环中有i++）
if( a[i]<=0 )
continue;
int thisSum =0;
for(int j=i; j<a.size(); j++ )
{
thisSum +=a[j];
if( thisSum>0 )
{ //（相对方法3_2 新添）
if(thisSum>maxSum)
{ maxSum = thisSum; }
i = j; //（相对方法3_2 新添）
}
else if( thisSum <= 0 )
{ //（相对方法3_1 新添）
thisSum = 0;
i = j;
}
}
}
return maxSum;
}
第四步：
最后如果你又了解一些程序结构上的优化的知识，那么你会发现下面的问题：
① 循环的分支可以改变一下，去除嵌套分支结构。
② 判断语句的分支中有共同部分，( i=j )，可以抽取出来。
以上两步以后，循环部分的代码编程 变成：
for(int i=0; i<a.size(); i++ )
{
if( a[i]<=0 )
continue;
int thisSum =0;
for(int j=i; j<a.size(); j++ )
{
thisSum +=a[j];
if(thisSum>maxSum)
{ maxSum = thisSum; }
else if( thisSum>0 )
{ //do nothing }
else if( thisSum <= 0 )
{ thisSum = 0; }
i = j;
}
}
<wbr></wbr>
③ 下面这步非常重要，如果你发现，内层循环的循环变量j 和 外层循环的循环变量i<wbr><span style="padding-bottom:0px; border-right-width:0px; margin:0px; padding-left:0px; padding-right:0px; border-top-width:0px; border-bottom-width:0px; border-left-width:0px; padding-top:0px">同步增长</span>，那么你是否能够想到，<span style="padding-bottom:0px; border-right-width:0px; margin:0px; padding-left:0px; padding-right:0px; border-top-width:0px; border-bottom-width:0px; border-left-width:0px; padding-top:0px">外层循环可能没有存在的必要</span>。在这里到底能不能去除外层循环，取决于<span style="padding-bottom:0px; border-right-width:0px; margin:0px; padding-left:0px; padding-right:0px; border-top-width:0px; border-bottom-width:0px; border-left-width:0px; padding-top:0px">外层循环中是否有额外的工作要做</span>。这里的额外工作是是if(a[i] <=0) 判断语句，如果你能发现内层循环的 if(thisSum < 0)的判断能够替代 if( a[i]<=0 ) 的工作。因为thisSum是由a[j]得到的。</wbr>
到这里，代码就可以神奇的变为如下的形式：常量空间，线性时间
int maxSubSum3_4( const vector<int> &a )
{
int maxSum = 0;
int thisSum = 0;
for(int j=0; j<a.size(); j++ )
{
thisSum += a[j];
if(thisSum>maxSum)
{ maxSum = thisSum; }
else if( thisSum>0 )
{ //do nothing }
else if( thisSum < 0 )
{ thisSum = 0; }
}
return maxSum;
}
分析：
<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr>① 只有一层循环，时间复杂度为<span style="font-family:Arial"><span style="padding-bottom:0px; border-right-width:0px; margin:0px; padding-left:0px; padding-right:0px; border-top-width:0px; border-bottom-width:0px; border-left-width:0px; padding-top:0px"><span style="padding-bottom:0px; border-right-width:0px; margin:0px; padding-left:0px; padding-right:0px; border-top-width:0px; border-bottom-width:0px; color:rgb(255,0,0); border-left-width:0px; padding-top:0px">O(n)</span></span>。<span style="padding-bottom:0px; border-right-width:0px; margin:0px; padding-left:0px; padding-right:0px; border-top-width:0px; border-bottom-width:0px; border-left-width:0px; padding-top:0px">常量空间，线性时间，</span>这是<span style="padding-bottom:0px; border-right-width:0px; margin:0px; padding-left:0px; padding-right:0px; border-top-width:0px; border-bottom-width:0px; border-left-width:0px; padding-top:0px"><span style="padding-bottom:0px; border-right-width:0px; margin:0px; padding-left:0px; padding-right:0px; border-top-width:0px; border-bottom-width:0px; color:rgb(255,0,0); border-left-width:0px; padding-top:0px"><span style="padding-bottom:0px; border-right-width:0px; margin:0px; padding-left:0px; padding-right:0px; border-top-width:0px; border-bottom-width:0px; border-left-width:0px; padding-top:0px">最优解法</span></span>。</span></span></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>