【图论】求无向连通图的割点

1. 割点与连通度

在无向连通图中,删除一个顶点v及其相连的边后,原图从一个连通分量变成了两个或多个连通分量,则称顶点v为割点,同时也称关节点(Articulation Point)。一个没有关节点的连通图称为重连通图(biconnected graph)。若在连通图上至少删去k 个顶点才能破坏图的连通性,则称此图的连通度为k。

关节点和重连通图在实际中较多应用。显然,一个表示通信网络的图的连通度越高,其系统越可靠,无论是哪一个站点出现故障或遭到外界破坏,都不影响系统的正常工作;又如,一个航空网若是重连通的,则当某条航线因天气等某种原因关闭时,旅客仍可从别的航线绕道而行;再如,若将大规模的集成电路的关键线路设计成重连通的话,则在某些元件失效的情况下,整个片子的功能不受影响,反之,在战争中,若要摧毁敌方的运输线,仅需破坏其运输网中的关节点即可。

简单的例子

(a)中G7 是连通图,但不是重连通图。图中有三个关节点A、B 和G 。若删去顶点B 以及所有依附顶点B 的边,G7 就被分割成三个连通分量{A、C、F、L、M、J}、{G、H、I、K}和{D、E}。类似地,若删去顶点A 或G 以及所依附于它们的边,则G7 被分割成两个连通分量。

【图论】求无向连通图的割点_第1张图片

2. 求割点的方法

暴力的方法:

  • 依次删除每一个节点v
  • 用DFS(或BFS)判断还是否连通
  • 再把节点v加入图中

若用邻接表(adjacency list),需要做\(V\)次DFS,时间复杂度为\(O(V*(V+E))\)。(题外话:我在面试实习的时候,只想到暴力方法;面试官提示只要一次DFS就就可以找到割点,当时死活都没想出来)。

有关DFS搜索树的概念

在介绍算法之前,先介绍几个基本概念

  • DFS搜索树:用DFS对图进行遍历时,按照遍历次序的不同,我们可以得到一棵DFS搜索树,如图(b)所示。
  • 树边:(在[2]中称为父子边),在搜索树中的实线所示,可理解为在DFS过程中访问未访问节点时所经过的边。
  • 回边:(在[2]中称为返祖边后向边),在搜索树中的虚线所示,可理解为在DFS过程中遇到已访问节点时所经过的边。

基于DFS的算法

该算法是R.Tarjan发明的。观察DFS搜索树,我们可以发现有两类节点可以成为割点:

  1. 对根节点u,若其有两棵或两棵以上的子树,则该根结点u为割点;
  2. 对非叶子节点u(非根节点),若其子树的节点均没有指向u的祖先节点的回边,说明删除u之后,根结点与u的子树的节点不再连通;则节点u为割点。

对于根结点,显然很好处理;但是对于非叶子节点,怎么去判断有没有回边是一个值得深思的问题。

我们用dfn[u]记录节点u在DFS过程中被遍历到的次序号,low[u]记录节点u或u的子树通过非父子边追溯到最早的祖先节点(即DFS次序号最小),那么low[u]的计算过程如下:
\[low[u] = \left\{ {\matrix{ {\min \{ low[u],\ low[v]\} } & {(u,v)为树边} \cr {\min \{ low[u],\ dfn[v]\} } & {(u,v)为回边且v不为u的父亲节点} \cr } } \right.\]

下表给出图(a)对应的dfn与low数组值。

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
vertex A B C D E F G H I J K L M
dfn[i] 1 5 12 10 11 13 8 6 9 4 7 2 3
low[i] 1 1 1 5 5 1 5 5 8 2 5 1 1

对于情况2,当(u,v)为树边且low[v] >= dfn[u]时,节点u才为割点。该式子的含义:以节点v为根的子树所能追溯到最早的祖先节点要么为v要么为u。

代码实现

void dfs(int u) {
    //记录dfs遍历次序
    static int counter = 0; 
    
    //记录节点u的子树数
    int children = 0;
    
    ArcNode *p = graph[u].firstArc;
    visit[u] = 1;

    //初始化dfn与low
    dfn[u] = low[u] = ++counter;

    for(; p != NULL; p = p->next) {
        int v = p->adjvex;
        
        //节点v未被访问,则(u,v)为树边
        if(!visit[v]) {
            children++;
            parent[v] = u;
            dfs(v);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
            //case (1)
            if(parent[u] == NIL && children > 1) {
                printf("articulation point: %d\n", u);
            }
            //case (2)
            if(parent[u] != NIL && low[v] >= dfn[u]) {
                printf("articulation point: %d\n", u);
            }
        }

        //节点v已访问,则(u,v)为回边
        else if(v != parent[u]) {
            low[u] = min(low[u], dfn[v]);
        }
    }
}

采用邻接表存储图,该算法的时间复杂度应与DFS相同,为\(O(V+E)\)

3. 参考资料

[1] see xidian, 图的连通性—关节点和重连通分量.
[2] byvoid, 图的割点、桥与双连通分支.
[3] GeeksforGeeks, Articulation Points (or Cut Vertices) in a Graph.

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