《算法导论》学习总结 — 16.第15章 动态规划(1) 基本入门

第十四章我想放在后面再看，先搁下。希望大家总结的一些文章也能向我推荐下，大家互相学习。

首先，还是建议看看前言：http://www.cnblogs.com/tanky_woo/archive/2011/04/09/2010263.html

其次，阿门，感谢老天送给了我们这么一本圣经，看了这一章，再次感受到了《算法导论》分析问题的精辟，强悍的魅力。Orz, Orz,各种Orz。

这一章讲的是动态规划，学算法的朋友，尤其是搞ACM的，对这个策略一定非常熟悉，所以这个算法网上的分析讲解教程也是铺天盖地，大家可以多搜几篇学习学习。

动态规划(Dynamic Programming，简称DP)是通过组合子问题的解来解决问题的。

注意这里的programming不是指编程，而是指一种规划。

因为DP用的太广泛了，并且书上也花了很大的篇幅来讲这一章，所以我也准备把这一章分几篇来总结，并且我不按照书上的顺序来总结，也不会全部用书上的例子。

这一章首先给出一些基础的概念，然后给出一个最基础入门的DP问题，三角形求值问题。

DP适用于子问题不是独立的情况，这样如果用分治法，也会作许多重复的工作，而DP只对子问题求解一次，将其结果保存在一张表中，从而避免了每次遇到各个子问题时重新计算的情况。

比较分治法于动态规划的区别：

分治法：将问题划分为一些独立的子问题，递归的求解各子问题，然后合并子问题的解而得到原问题的解。

eg.

MERGE-SORT(A, p, r)
1 if p < r
2   then q ← |(p + r)/2|
3        MERGE-SORT(A, p, q)
4        MERGE-SORT(A, q + 1, r)
5        MERGE(A, p, q, r)

动态规划：适用于子问题不是独立的情况，也就是各子问题包含公共的子子问题，鉴于会重复的求解各子问题，DP对每个问

题只求解一遍，将其保存在一张表中，从而避免重复计算。

DP算法的设计可以分为四个步骤：

①.描述最优解的结构。

②.递归定义最优解的值。

③.按自底而上的方式计算最优解的值。

④.由计算出的结果创造一个最优解。

下面来看看三角形求值这个问题：

将一个由N行数字组成的三角形，如图所以，设计一个算法，计算出三角形的由顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大。

这是在我见过的DP题目中，算是最简单的了，我相信就算没有学过DP的也会。

将上图转化一下：

假设上图用map[][]数组保存。

令f[i][j]表示从顶点(1, 1)到顶点(i, j)的最大值。

则可以得到状态转移方程：

f[i][j] = max(f[i+1][j], f[i+1][j+1]) + map[i][j]

此题既适合自顶而下的方法做，也适合自底而上的方法，

当用自顶而下的方法做时，最后要在在最后一列数中找出最大值，

而用自底而上的方法做时，f[1][1]即为最大值。

所以我们将图2根据状态转移方程可以得到图3：

最大值是30.

很简单的DP题，代码如下：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

/* Author: Tanky Woo Blog: www.WuTianQi.com Description: 动态规划之三角形求值问题 */ #include <iostream> using namespace std;   int map[6][6] = { {0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 7, 0, 0, 0, 0}, {0, 3, 8, 0, 0, 0}, {0, 8, 1, 0, 0, 0}, {0, 2, 7, 4, 4, 0}, {0, 4, 5, 2, 6, 5} };   int f[6][6];   int _max(int a, int b) { if(a >= b) return a; return b; }   int main() { memset(f, 0, sizeof(f)); for(int i=0; i<6; ++i) f[5][i] = map[5][i]; for(int i=4; i>=1; --i) for(int j=1; j<=i; ++j) f[i][j] = _max(f[i+1][j], f[i+1][j+1]) + map[i][j]; for(int i=1; i<=5; ++i) { for(int j=1; j<=5; ++j) { cout.width(2); cout << f[i][j] << " "; } cout << endl; } cout << f[1][1] << endl; }

结果如图：

下一篇会将装配线的调度。

 

在我独立博客上的原文：http://www.wutianqi.com/?p=2484

欢迎大家互相学习，互相进步！