一. 序言

(1) 有理数定义 : 可以写成形如\(\frac{p}{q}\)分式形式的数 , 称为有理数
有理数的这个定义限制了有理数的表示范围,并非所有数都能写成分数形式 , 比如\(\sqrt{2}\). 证明过程如下:

反证 : 设存在既约分数\(\frac{p}{q}\)=\(\sqrt{2}\) , 则存在\(p^2=2q^2\) , 因此\(p^2\)为偶数,推得p为偶数(奇数的平方还是奇数,没有2因子) ; 所以 , 设p=2r , 代入得\(q^2=2r^2\) , 同理q为偶数; 此时p,q均为偶数, 存在公因子2,与题设既约分数矛盾,得证

(2) 无理数定义

1. 实数是连续的(实数域的连续性)

   证明 : 把有理数域拆成2个非空集合A和A'(1) 每个实数必在集合A和A'中的一个,(2) 集合A内的所有数均小于集合A'的所有数 . 所以存在一个数\(\beta\) ,产生了这样的划分A|A' , \(\beta\)要么是A的最大数, 要么是A'的最小数. 设\(\beta\)为A的最大数. 假设实数域内有空隙 , 使得A内存在数a\(_0\)大于\(\beta\),现在在\(\beta\)与a\(_0\)之间插入有理数\(\Gamma\),有a\(_0\)>\(\Gamma\)>\(\beta\). 由于\(\beta\)是A的最大点 , \(\Gamma\)>\(\beta\)与\(\Gamma\)在A集合内矛盾, 所以假设不成立\(\Rightarrow\)实数域是连续的

2. 只有有理数 , 使得实数域产生空虚 , 因为有理数并不能构成数轴上所有的点 (eg:边长为1的正方形的对角线 ), 为了表示这些空隙 , 引入无理数 : 不能表示成两个整数之比的数, 简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数

   有限小数或无限循环小数，并且总能写成两整数之比，如22/7等

(3) 数集的界

1. 任意构成集合A的数记为a,记做A={a},对于集合{a},若能找出一个数M,使得一切x小于M,则集合A有上界 , 反之集合A有下界.
   
2. 若集合A有上界,则这种上界无限多(任何>M的数都是上界).在无穷多的上界中,最小的那个乘坐集合A的上确界,反之, 下界中的最大者为下确界.
   

3. 定理 : 若集合A={a},若存在上(下)界,则存在上(下)确界

   为什么要证明:上(下)界都是无限数集,而并非所有无限数集都能找到最大(小)值