hdu3570, 超级简单的斜率优化dp

dp[i] = dp[j] + (a[i] - a[j])^2 + m;
展开得 dp[i] = min{dp[j] + a[i]^2 + a[j]^2 - 2*a[i]*a[j] + m}
其中a[i]^2 是与i相关的变量， 而m是常量，所以可以从表达式中抽离出来
所以只要求 dp[i] = min{dp[j] + a[j]^2 + 2*a[i]*a[j]} 即可，
设k = a[i] ,  x = 2*a[j]， y = dp[j] + a[j]^2，G = dp[i]
那么就是G = -kx + y,
为了得到dp[i]的最小值， 那么需要枚举j，那么相当于二维的坐标系上有很多个点，
然后有一条斜率为-k的直线从y轴下方无限远处慢慢向上平移， 直到经过坐标系上的一个点，
那么此时与y轴的截距G是最小的，

我们只要维护一个凸包就行了。

设红线的斜率为k，直线ab的斜率为kab,
如果k<kab, 那么点a就是最优的，因为如果要经过点a之后的点，就必须把红线往上平移
如果k>kab, 那么点a不是最优的，因为如果要经过点b，是把红线往下移，也就是说点a是可以舍弃的，因为k=a[i],
而a[i]是递增不减的，所以说点a是当前可舍弃，以后也可舍弃的
至于k==kab, 那么点a也是可舍弃的

 

为什么不在凸包上的点就不可能成为最优点呢？

因为t不在凸包上，所以ktb <  kat
如果t可以成为最优的，那么就是说存在一条斜率为k的直线
使得k>=kat且 k<ktb,  然而ktb < kat, 所以这是不可能发生的事情，所以舍弃掉

所以我们就是维护一个凸包就行啦。

 

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <string.h>
 3 #include <math.h>
 4 #include <iostream>
 5 #include <algorithm>
 6 #include <vector>
 7 #include <queue>
 8 #include <stack>
 9 #include <functional>
10 #include <map>
11 #include <set>
12 using namespace std;
13 typedef long long LL;
14 const int INF = 1<<30;
15 /*
16  * */
17 const int N = 500000 + 10;
18 int a[N];
19 int dp[N];
20 int q[N],head,tail;
21 int n,m;
22 int getUp(int k1, int k2)
23 {
24     return (dp[k1]+a[k1]*a[k1]) - (dp[k2]+a[k2]*a[k2]);
25 }
26 int getDown(int k1, int k2)
27 {
28     return  a[k1] -  a[k2];
29 }
30 int getDp(int i, int k)
31 {
32     return dp[k] + (a[i] - a[k]) * (a[i] - a[k]) + m;
33 }
34 int main()
35 {
36     //freopen("/Users/whoami/in.txt","r",stdin);
37     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
38     {
39         memset(dp,0,sizeof(dp));
40         for(int i=1;i<=n;++i)
41         {
42             scanf("%d",&a[i]);
43             a[i] += a[i-1];
44         }
45         head = tail = 0;
46         q[tail++] = 0;
47         for(int i=1;i<=n;++i)
48         {
49             /*
50                 while(head+1<tail && getDp(i,q[head])<=getDp(i,q[head+1]))
51                 head++;
52             */
53             //得到最优值
54             while(head+1<tail && getUp(q[head+1], q[head])<=2 * a[i] * getDown(q[head+1], q[head]))
55                 head++;
56             dp[i] = getDp(i,q[head]);
57             //维护下凸包,
58             while(head+1<tail &&  getUp(q[tail-1],q[tail-2])*getDown(i,q[tail-1]) >= getUp(i,q[tail-1])*getDown(q[tail-1],q[tail-2]))
59                 tail--;
60             q[tail++] = i;
61 
62         }
63         printf("%d\n",dp[n]);
64     }
65     return 0;
66 }

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