[傅里叶变换及其应用学习笔记] 五. 傅里叶级数连续性讨论，热方程

这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。

 

热方程后续

上节课推导出热方程的傅里叶系数：

$C_k(t) = C_k(0)e^{-2\pi ^2 k^2t}$

那么$C_k(0)$是什么?

 

上节课有提到温度有如下关系式：

$U(x,t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k(t)e^{2\pi ikx} }$

当$t=0$，代表初始时刻圆环上的温度分布

$f(x) = U(x,0) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k(0)e^{2\pi ikx} }$

则，$C_k(0)$为$f(x)$的傅里叶系数

$C_k(0) = \hat{f}(k)$

因此，温度分布公式（热方程）如下：

$U(x,t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\hat{f}(k)e^{-2\pi^2k^2t}e^{2\pi ikx} }$

温度$U$与时间$t$的关系为：当$t \to \infty$，$-2\pi^2k^2t \to –\infty$，$e^{-2\pi^2k^2t} \to 0$，$U \to 0$。因此，圆环的温度最终会变为0。

 

热方程进一步推导，引入卷积

我们可以对热方程中的$\hat{f}(k)$进行进一步分解

$\hat{f}(k) = \displaystyle{\int_0^1 e^{-2\pi iky}f(y)dy}$

考虑到初始时刻的温度分布$f(x)$与热方程$U(x,t)$中的位置变量$x$可能会取不同的值，我们在此把$f(x)$写成$f(y)$。

把$\hat{f}(k)$代入热方程后，得

$\begin{align*}
U(x,t) &=\displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}(\int_0^1 e^{-2\pi iky}f(y)dy) e^{-2\pi^2k^2t}e^{2\pi ikx}} \\
&=\displaystyle{\int_0^1(\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi iky}e^{2\pi ikx}e^{-2\pi^2k^2t})f(y)dy } \\
&=\displaystyle{\int_0^1(\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{2\pi ik(x-y)}e^{-2\pi^2k^2t})f(y)dy }
\end{align*}$

令

$g(x,t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikx}e^{-2\pi^2k^2t} }$

上面的等式被称为热核方程（heat kernel），则

$U(x,t) = \displaystyle{\int_0^1g(x-y,t)f(y)dy }$

如上面的等式，热方程被转换成了卷积的表现形式

 

 

从傅里叶级数到傅里叶变换

傅里叶级数到傅里叶变换是从周期现象到非周期现象的转变，我们可以将非周期函数看做是周期函数的一种特殊情况：周期趋于无穷。

 

对于周期为1的函数

$C_k = \displaystyle{\hat{f}(k) = \int_0^1e^{-2\pi ikt}f(t)dt }$

$f(t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\hat{f}(k)e^{2\pi ikt} }$

频谱图如下

由于$C_k$为复数形式，因此我们无法在图上画出，因此只能画出$\left | C_k \right | = \left | a + bi \right | = \sqrt{a^2 + b^2}$。另外我们在第二节课的时候也学过，$C_k$是y轴对称的。

 

对于周期为T的函数

$\begin{align*}
C_k = \displaystyle{\hat{f}(k) } &= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_0^1e^{-\frac{2\pi }{T}ikt}f(t)dt } \\
    &= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{-2\pi i\frac{k}{T}t}f(t)dt }
\end{align*}.$

$f(t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\hat{f}(k)e^{2\pi i\frac{k}{T}t} }$

频谱图如下

由于周期为$T$，因此频率为$\frac{1}{T}$。当$T \to \infty$，$\frac{1}{T} \to 0$，此时频谱会变得连续了。

 

 

$T \to \infty$

但是是否仅仅让$T \to \infty$就能得到傅里叶变换？答案是否定的，下面来看一个例子

有一个函数f(t)如下图

该函数的傅里叶系数求解过程如下

$\begin{align*}
C_k = \displaystyle{\hat{f}(k) }
&= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{-2\pi i\frac{k}{T}t}f(t)dt } \\
&= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_a^b e^{-2\pi i\frac{k}{T}t}f(t)dt } \\
&\leqslant \displaystyle{\frac{1}{T}\int_a^b \left | e^{-2\pi i\frac{k}{T}t}\right | \left |f(t) \right |dt } \\
&= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_a^b Mod(e^{-2\pi i\frac{k}{T}t}) \left |f(t) \right |dt } \\
&= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_a^b Mod(cos(-2\pi \frac{k}{T}t) + isin(-2\pi \frac{k}{T}t)) \left |f(t) \right |dt } \quad spread \ with \ Eular \ Formula \\
&= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_a^b \sqrt{cos^2(-2\pi \frac{k}{T}t) + sin^2(-2\pi \frac{k}{T}t)} \left |f(t) \right |dt } \\
&= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_a^b 1\left |f(t) \right |dt } \\
&= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_a^b \left |f(t) \right |dt } \\
&= \frac{M}{T}
\end{align*}.$

即对于所有$C_k$都有$C_k \leqslant \frac{M}{T}$。

$M$是该函数绝对值的积分，是有限值，如果$T \to \infty$，则所有的$C_k \to 0$。所有傅里叶系数为0则该傅里叶变换毫无意义。