算法学习（二）——树状数组求逆序数

1、什么是逆序数？
2、用树状数组求逆序数的总数
         2.1该背景下树状数组的含义
         2.2如何使用树状数组求逆序数总数
         2.3 C++实现代码

目录

 

1、什么是逆序数？

         在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序数的总数就是这个排列的逆序数。

 

2、用树状数组求逆序数的总数

         2.1该背景下树状数组的含义

         我们假设一个数组A[n],当A[n]=0时表示数字n在序列中没有出现过，A[n]=1表示数字n在序列中出现过。A对应的树状数组为c[n],则c[n]对应维护的是数组A[n]的内容，即树状数组c可用于求A中某个区间的值的和。

         树状数组的插入函数(假设为 void insert(int i,int x) )的含义：在求逆序数这个问题中，我们的插入函数通常使用为insert( i , 1 )，即将数组A[i]的值加1 (A数组开始应该初始化为0，所以也可以理解为设置A[ i ]的值为1，即将数字i 加入到序列的意思 )。，同时维护c数组的值。

         树状数组中区间求和函数(假设函数定义为： int getsun(int i ) )的含义：该函数的作用是用于求序列中小于等于数字 i 的元素的个数。这个是显而易见的，因为树状数组c 维护的是数组A的值，则该求和函数即是用于求下标小于等于 i 的数组A的和，而数组A中元素的值要么是0要么是1，所以最后求出来的就是小于等于i的元素的个数。

         所以要求序列中比元素a大的数的个数，可以用i - getsum(a)即可( i 表示此时序列中元素的个数)。

 

         2.2如何使用树状数组求逆序数总数

         首先来看如何减小问题的规模:

         要想求一个序列 a b c d,的逆序数的个数，可以理解为先求出a b c的逆序数的个数k1，再在这个序列后面增加一个数d，求d之前的那个序列中值小于d的元素的个数k2，则k1+k2即为序列a b c d的逆序数的个数。

         举个例子加以说明：

　　假设给定的序列为 4 3 2 1，我们从左往右依次将给定的序列输入，每次输入一个数temp时，就将当前序列中大于temp的元素的个数计算出来，并累加到ans中，最后ans就是这个序列的逆序数个数。

 

序列的变化(下划线为新增加元素)	序列中大于新增加的数字的个数	操作
{ }	0	初始化时序列中一个数都没有
{4 }	0	往序列中增加4，统计此时序列中大于4的元素个数
{4 3 }	1	往序列中增加3，统计此时序列中大于3的元素个数
{4 3 2}	2	往序列中增加2，统计此时序列中大于2的元素个数
{4 3 2 1}	3	往序列中增加1，统计此时序列中大于1的元素个数

         当所有的元素都插入到序列后，即可得到序列{4 3 2 1}的逆序数的个数为1+2+3=6.

        

         2.3 C++实现代码如下：

 

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
#define N 1010
int c[N]; 
int n;
int lowbit(int i)
{
    return i&(-i);
}
int insert(int i,int x)
{
    while(i<=n){
        c[i]+=x;
        i+=lowbit(i);
    }
    return 0;
}

int getsum(int i)
{
    int sum=0;
    while(i>0){
        sum+=c[i];
        i-=lowbit(i);
    } 
    return sum;
}
void output()
{
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<c[i]<<" ";
    cout<<endl;
}
int main()
{
    while(cin>>n){
        int ans=0;
        memset(c,0,sizeof(c));
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int a;
            cin>>a;
            insert(a,1);
            ans+=i-insert(a);//统计当前序列中大于a的元素的个数
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}