图像处理中的数学原理详解17——卷积定理及其证明

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1.4.5   卷积定理及其证明

卷积定理是傅立叶变换满足的一个重要性质。卷积定理指出，函数卷积的傅立叶变换是函数傅立叶变换的乘积。换言之，一个域中的卷积对应于另一个域中的乘积，例如，时域中的卷积对应于频域中的乘积。

这一定理对拉普拉斯变换、Z变换等各种傅立叶变换的变体同样成立。需要注意的是，以上写法只对特定形式的变换正确，因为变换可能由其它方式正规化，从而使得上面的关系式中出现其它的常数因子。
下面我们来证明时域卷积定理，频域卷积定理的证明与此类似，读者可以自行证明。
证明：将卷积的定义

傅立叶变换的作用在频域对信号进行分析，我们可以把时域的信号看做是若干正弦波的线性叠加，傅立叶变换的作用正是求得这些信号的幅值和相位。既然固定的时域信号是若干固定正弦信号的叠加，在不改变幅值的情况下，在时间轴上移动信号，也就相当于同时移动若干正弦信号，这些正弦信号的相位改变、但幅值不变，反映在频域上就是傅立叶变换结果的模不变、而相位改变。所以，时移性质其实就表明当一个信号沿时间轴平移后，各频率成份的大小不发生改变，但相位发生变化。
既然这里提到了傅立叶变换的性质，这里我们还将补充一些关于帕塞瓦尔定理的有关内容。该定理最早是由法国数学家帕塞瓦尔（Marc-Antoine Parseval）在1799年推导出的一个关于级数的理论，该定理随后被应用于傅立叶级数。帕塞瓦尔定理的表述是这样的：

综上所述，原结论得证。
前面我们也介绍过复数形式的傅立叶级数，下面我们来推导与复数形式傅立叶变换相对应的帕塞瓦尔等式。这里再次给出傅立叶级数的复数形式表达式，具体推导过程请读者参阅前文

帕塞瓦尔定理把一个信号的能量或功率的计算和频谱函数或频谱联系起来了，它表明一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。换言之，能量信号的总能量等于各个频率分量单独贡献出来的能量的连续和；而周期性功率信号的平均功率等于各个频率分量单独贡献出来的功率之和。