13.1、时间序列实例

时间序列实例

junjun

2016年2月12日

Rmarkdown脚本及数据集：http://pan.baidu.com/s/1gekA3AV

实例一、使用ARIMA模型对裙子长度预测

ARIMA 模型为平稳时间序列定义的。 因此， 如果你从一个非平稳的时间序列开始， 首先你就需要做时间序列差分直到你得到一个平稳时间序列。如果你必须对时间序列做 d 阶差分才能得到一个平稳序列，那么你就使用ARIMA(p,d,q)模型，其中 d 是差分的阶数。

#1、加载数据
skirts <- scan("http://robjhyndman.com/tsdldata/roberts/skirts.dat",skip=5)
str(skirts)

##  num [1:46] 608 617 625 636 657 691 728 784 816 876 ...

#从上可知：数据集为一个数字类型的向量

#2、把数据转化为是时间序列
(skirts_ts <- ts(skirts, start=c(1886), frequency = 1))

## Time Series:
## Start = 1886 
## End = 1931 
## Frequency = 1 
##  [1]  608  617  625  636  657  691  728  784  816  876  949  997 1027 1047
## [15] 1049 1018 1021 1012 1018  991  962  921  871  829  822  820  802  821
## [29]  819  791  746  726  661  620  588  568  542  551  541  557  556  534
## [43]  528  529  523  531

#1)查看时间序列对应的时间
time(skirts_ts)

## Time Series:
## Start = 1886 
## End = 1931 
## Frequency = 1 
##  [1] 1886 1887 1888 1889 1890 1891 1892 1893 1894 1895 1896 1897 1898 1899
## [15] 1900 1901 1902 1903 1904 1905 1906 1907 1908 1909 1910 1911 1912 1913
## [29] 1914 1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921 1922 1923 1924 1925 1926 1927
## [43] 1928 1929 1930 1931

#2)画出时间序列图
plot.ts(skirts_ts)

#从上图可知：女人裙子边缘的直径做成的时间序列数据，从 1866 年到 1911 年在平均值上是不平稳的， 随着时间增加， 数值变化很大。

#3、确定时间序列的差分参数d：做时间序列的一阶差分， 并画出差分序列的图
skirts_diff <- diff(skirts_ts, differences=1)
plot.ts(skirts_diff)

#从一阶差分的图中可以看出，数据仍是不平稳的，继续差分

#做时间序列的二阶差分
skirts_diff2 <- diff(skirts_ts, differences=2)
plot.ts(skirts_diff2)
#二次差分（上面）后的时间序列在均值和方差上确实看起来像是平稳的， 随着时间推移， 时间序列的水平和方差大致保持不变。因此， 看起来我们需要对裙子直径进行两次差分以得到平稳序列。

#4、找到合适的ARIMA模型：ARIMA要求时间序列是平稳的（差分来获得）

#如果你的时间序列是平稳的，或者你通过做 n 次差分转化为一个平稳时间序列， 接下来就是要选择合适的 ARIMA模型，这意味着需要寻找 ARIMA(p,d,q)中合适的 p 值和 q 值。为了得到这些，通常需要检查平稳时间序列的（自）相关图和偏相关图。

#方法一、使用auto.arima()函数，自动获取最佳的ARIMA模型
library(forecast)

## Loading required package: zoo

## 
## Attaching package: 'zoo'

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     as.Date, as.Date.numeric

## Loading required package: timeDate

## This is forecast 6.2

auto.arima(skirts_ts, ic=c("aicc", "aic", "bic"), trace = T)

## 
##  ARIMA(2,2,2)                    : Inf
##  ARIMA(0,2,0)                    : 393.6216
##  ARIMA(1,2,0)                    : 391.6212
##  ARIMA(0,2,1)                    : 392.0664
##  ARIMA(2,2,0)                    : 393.9273
##  ARIMA(1,2,1)                    : 393.9276
##  ARIMA(2,2,1)                    : Inf
## 
##  Best model: ARIMA(1,2,0)

## Series: skirts_ts 
## ARIMA(1,2,0)                    
## 
## Coefficients:
##           ar1
##       -0.2997
## s.e.   0.1424
## 
## sigma^2 estimated as 388.7:  log likelihood=-193.66
## AIC=391.33   AICc=391.62   BIC=394.9

#最优模型为arima(1, 2, 0)

#方法二、使用 R 中的“acf()”和“pacf” 函数来分别（ 自） 相关图和偏相关图。“acf()”和“pacf 设定“plot=FALSE” 来得到自相关和偏相关的真实值
#1）相关图
acf(skirts_diff2, lag.max = 20)

acf(skirts_diff2, lag.max = 20, plot=F)

## 
## Autocorrelations of series 'skirts_diff2', by lag
## 
##      0      1      2      3      4      5      6      7      8      9 
##  1.000 -0.303  0.096  0.009  0.102 -0.453  0.173 -0.025 -0.039  0.073 
##     10     11     12     13     14     15     16     17     18     19 
## -0.094  0.133 -0.089 -0.027 -0.102  0.207 -0.260  0.114  0.101  0.011 
##     20 
## -0.090

#自相关图显示滞后1阶自相关值基本没有超过边界值，虽然5阶自相关值超出边界，那么很可能属于偶然出现的，而自相关值在其他上都没有超出显著边界， 而且我们可以期望 1 到 20 之间的会偶尔超出 95%的置信边界。 自相关图5阶后结尾

#2)偏自相关图
pacf(skirts_diff2, lag.max = 20)

pacf(skirts_diff2, lag.max = 20, plot=F)

## 
## Partial autocorrelations of series 'skirts_diff2', by lag
## 
##      1      2      3      4      5      6      7      8      9     10 
## -0.303  0.005  0.043  0.128 -0.439 -0.110  0.073  0.028  0.128 -0.355 
##     11     12     13     14     15     16     17     18     19     20 
##  0.095  0.052 -0.094 -0.103 -0.034 -0.021 -0.002  0.074  0.020 -0.034

#偏自相关值选1阶后结尾。故我们的ARMIA模型为armia（1,2,5）

#5、建立ARIMA模型：并对比arima(1, 2, 0)与arima(1, 2, 5)模型
#1）arima(1, 2, 0)模型
(skirts_arima <- arima(skirts_ts, order=c(1, 2, 0)))

## 
## Call:
## arima(x = skirts_ts, order = c(1, 2, 0))
## 
## Coefficients:
##           ar1
##       -0.2997
## s.e.   0.1424
## 
## sigma^2 estimated as 388.7:  log likelihood = -193.66,  aic = 391.33

#）arima(1, 2, 5)模型
(skirts_arima <- arima(skirts_ts, order=c(1, 2, 5)))

## 
## Call:
## arima(x = skirts_ts, order = c(1, 2, 5))
## 
## Coefficients:
##           ar1     ma1     ma2     ma3     ma4      ma5
##       -0.4345  0.2762  0.1033  0.1472  0.0267  -0.8384
## s.e.   0.1837  0.2171  0.2198  0.2716  0.1904   0.2888
## 
## sigma^2 estimated as 206.1:  log likelihood = -183.8,  aic = 381.6

#按AIC和SBC标准计算的统计量(9.496798)和(18.54752)，这两个值都较小，表明对预测模型拟合得较好
#AIC是赤池消息准则SC是施瓦茨准则，当两个数值最小时，则是最优滞后分布的长度。我们进行模型选择时，AIC值越小越好。

#从上可知：arima(1, 2, 0)模型的aic值比arima(1, 2, 5)模型的AIC值大，所以arima(1, 2, 5)模型较好

#6、预测：预测5年后裙子的边缘直径
library(foreach)
(skirts_forecast <- forecast.Arima(skirts_arima, h=5, level=c(99.5)))

##      Point Forecast  Lo 99.5  Hi 99.5
## 1932       548.5762 507.1167 590.0357
## 1933       545.1793 459.3292 631.0295
## 1934       540.9354 396.3768 685.4940
## 1935       531.8838 316.2785 747.4892
## 1936       529.1296 233.2625 824.9968

#画出预测的图形
plot.forecast(skirts_forecast)

#7、检验
#在指数平滑模型下， 观察 ARIMA 模型的预测误差是否是平均值为 0 且方差为常数的正态分布（服从零均值、方差不变的正态分布） 是个好主意，同时也要观察连续预测误差是否（自）相关
#1）检验预测误差的自相关性
#方法一、做tsdiag检验
tsdiag(skirts_arima)

#Acf检验说明：残差没有明显的自相关性，Ljung-Box测试显示：所有的P-value>0.05，??说明残差为白噪声。

#第一个图表代表估计模型误差的绘图。英文叫做Standardized Residuals, 上面有很多竖线在横向坐标的上下分布。如果这个估计的模型比较可信，竖线的长度是比较相似的。如果竖线的长度互相有很大出入或者根本就不同，估计模型的可信度就非常差。下面误差绘图中竖线的长度比较相似，都处在稳定范围之内，即估计的模型没产生不符合要求的误差分布。??

#再介绍输出的第二张绘图，标题是ACF of Residuals。ACF指数据点相互之间的关系，当然在生成这个数据时，数据点之间互相独立，并不存在任何关系。所以在这张图上，只有位于0刻度上的竖线最高，其ACF值为1。 这个0代表数据点与自己相比较， 即数据点永远和它自己有关系，这种关系数值为1。其他横向数轴上的刻度代表一个数据点于其他数据点之间的关系，这些刻度上竖线的长度几乎等于0，即这个数据点与其他数据点没明显关系。这张ACF图代表估计的模型没造成误差之间的任何关系。这是符合数据生成时每个数据都是独立的这个前提的。由此可见，这ACF图符合检测要求。

#下面来介绍第三张图，也就是Ljung-Box 指标。这个指标可对每一个时间序列的延迟进行显著性的评估。这张图的横坐标代表时间序列的延迟，纵坐标代表P-value，即显著性。如果P-value十分小，就说明在其相对应的延迟点上是显著的。我们就需要抛弃所假设的模型，并且结论在所假设的模型不可信。需要注意的是，他们使用假设的模型对一个时间序列进行估计，如果P-value是显著的话，我们使用的模型就不可信，需要尝试其他新模型。具体判定技巧是，P-value点的高度越高，我们的模型越可信。

#方法二、判断预测误差的（自）相关性
acf(skirts_forecast$residuals, lag.max = 20)

Box.test(skirts_forecast$residuals, lag=20, type = "Ljung-Box")

## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  skirts_forecast$residuals
## X-squared = 8.5974, df = 20, p-value = 0.9871

#既然相关图显示出在滞后1??-??20阶（??l??a??g??s??1??-??20??）中样本自相关值都没有超出显著（置信）边界，而且Ljung-Box检验的p值为0.99，所以我们推断在滞后1-20阶（lags1-20）中没明显证据说明预测误差是非零自相关的。??

#2)判断预测误差是否是平均值为零且方差为常数的正态分布
#为了调查预测误差是否是平均值为零且方差为常数的正态分布（服从零均值、方差不变的正态分布），我们可以做预测误差的时间曲线图和直方图（具有正态分布曲线）

# 预测误差的均值是否为0
plot.ts(skirts_forecast$residuals)

#自定义判断预测误差的方差是正态分布的函数
plotForecastErrors <- function(forecasterrors) {
  #画预测误差的直方图
  hist(forecasterrors, col="red", freq=F)
  #??freq=FALSE??ensures??the??area??under??the??histogram??=??1
  #??generate??normally??distributed??data??with??mean??0??and??standard??deviation??mysd
  mysd <- sd(forecasterrors)
  mynorm <- rnorm(10000, mean=0, sd=mysd)
  myhist <- hist(mynorm, plot=F)
  #??plot??the??normal??curve??as??a??blue??line??on??top??of??the??histogram??of??forecast??errors:
  points(myhist$mids, myhist$density, type="l", col="blue", lwd=2)
}
plotForecastErrors(skirts_forecast$residuals)

#上图预测中的时间曲线图显示出对着时间增加，方差大致为常数（大致不变）（尽管上半部分的时间序列方差看起来稍微高一些）。时间序列的直方图显示预测误大致是正态分布的且平均值接近于 0（服从零均值的正态分布的）。因此，把预测误差看作平均值为0方差为常数正态分布（服从零均值、方差不变的正态分布）是合理的。??

#既然依次连续的预测误差看起来不是相关，而且看起来是平均值为 0 方差为常数的正态分布（服从零均值、方差不变的正态分布），那么对于裙子直径的数据， ARIMA(1,2,5)看起来是可以提供非常合适预测的模型。

实例二、选取了一些具有周期性（7天）的测试数据，通过ARIMA模型做一个简单的预测

#1、读取数据
source<- c(10930,10318,10595,10972,7706,6756,9092,10551,9722,10913,11151,8186,6422,
6337,11649,11652,10310,12043,7937,6476,9662,9570,9981,9331,9449,6773,6304,9355,10477,
10148,10395,11261,8713,7299,10424,10795,11069,11602,11427,9095,7707,10767,12136,12812,
12006,12528,10329,7818,11719,11683,12603,11495,13670,11337,10232,13261,13230,15535,
16837,19598,14823,11622,19391,18177,19994,14723,15694,13248,9543,12872,13101,15053,
12619,13749,10228,9725,14729,12518,14564,15085,14722,11999,9390,13481,14795,15845,
15271,14686,11054,10395,14775,14618,16029,15231,14246,12095,10473,15323,15381,14947)

#2、利用xts包中的xts()函数，把数据转化为周期性（7天）的时间序列
library(xts)
data <- xts(source, seq(as.POSIXct("2014-01-01"), len=length(source), by="day"))

plot(data)

head(data)

##             [,1]
## 2014-01-01 10930
## 2014-01-02 10318
## 2014-01-03 10595
## 2014-01-04 10972
## 2014-01-05  7706
## 2014-01-06  6756

time(data)

##   [1] "2014-01-01 CST" "2014-01-02 CST" "2014-01-03 CST" "2014-01-04 CST"
##   [5] "2014-01-05 CST" "2014-01-06 CST" "2014-01-07 CST" "2014-01-08 CST"
##   [9] "2014-01-09 CST" "2014-01-10 CST" "2014-01-11 CST" "2014-01-12 CST"
##  [13] "2014-01-13 CST" "2014-01-14 CST" "2014-01-15 CST" "2014-01-16 CST"
##  [17] "2014-01-17 CST" "2014-01-18 CST" "2014-01-19 CST" "2014-01-20 CST"
##  [21] "2014-01-21 CST" "2014-01-22 CST" "2014-01-23 CST" "2014-01-24 CST"
##  [25] "2014-01-25 CST" "2014-01-26 CST" "2014-01-27 CST" "2014-01-28 CST"
##  [29] "2014-01-29 CST" "2014-01-30 CST" "2014-01-31 CST" "2014-02-01 CST"
##  [33] "2014-02-02 CST" "2014-02-03 CST" "2014-02-04 CST" "2014-02-05 CST"
##  [37] "2014-02-06 CST" "2014-02-07 CST" "2014-02-08 CST" "2014-02-09 CST"
##  [41] "2014-02-10 CST" "2014-02-11 CST" "2014-02-12 CST" "2014-02-13 CST"
##  [45] "2014-02-14 CST" "2014-02-15 CST" "2014-02-16 CST" "2014-02-17 CST"
##  [49] "2014-02-18 CST" "2014-02-19 CST" "2014-02-20 CST" "2014-02-21 CST"
##  [53] "2014-02-22 CST" "2014-02-23 CST" "2014-02-24 CST" "2014-02-25 CST"
##  [57] "2014-02-26 CST" "2014-02-27 CST" "2014-02-28 CST" "2014-03-01 CST"
##  [61] "2014-03-02 CST" "2014-03-03 CST" "2014-03-04 CST" "2014-03-05 CST"
##  [65] "2014-03-06 CST" "2014-03-07 CST" "2014-03-08 CST" "2014-03-09 CST"
##  [69] "2014-03-10 CST" "2014-03-11 CST" "2014-03-12 CST" "2014-03-13 CST"
##  [73] "2014-03-14 CST" "2014-03-15 CST" "2014-03-16 CST" "2014-03-17 CST"
##  [77] "2014-03-18 CST" "2014-03-19 CST" "2014-03-20 CST" "2014-03-21 CST"
##  [81] "2014-03-22 CST" "2014-03-23 CST" "2014-03-24 CST" "2014-03-25 CST"
##  [85] "2014-03-26 CST" "2014-03-27 CST" "2014-03-28 CST" "2014-03-29 CST"
##  [89] "2014-03-30 CST" "2014-03-31 CST" "2014-04-01 CST" "2014-04-02 CST"
##  [93] "2014-04-03 CST" "2014-04-04 CST" "2014-04-05 CST" "2014-04-06 CST"
##  [97] "2014-04-07 CST" "2014-04-08 CST" "2014-04-09 CST" "2014-04-10 CST"

#3、确定时间序列的差分参数d
#1）做一阶差分
data_diff1 <- diff(data, differences=1)
plot(data_diff1)

str(data_diff1)

## An 'xts' object on 2014-01-01/2014-04-10 containing:
##   Data: num [1:100, 1] NA -612 277 377 -3266 ...
##   Indexed by objects of class: [POSIXct,POSIXt] TZ: 
##   xts Attributes:  
##  NULL

#第一值为NA

#2)做时间序列的二阶差分
data_diff2 <- diff(data, differences=2)
plot(data_diff2)

str(data_diff2)

## An 'xts' object on 2014-01-01/2014-04-10 containing:
##   Data: num [1:100, 1] NA NA 889 100 -3643 ...
##   Indexed by objects of class: [POSIXct,POSIXt] TZ: 
##   xts Attributes:  
##  NULL

#第一个和第二值为NA

#可以看出一次差分后的时间序列在均值和方差上看起来像是平稳的，与二次差分的图形相差不大，随着时间推移，时间序列大致保持不变，因此设置差分项d=1。

#4、接下来需要选择合适的ARIMA模型，即确定ARIMA(p,d,q)中合适的 p、q 值
#1）方法一、使用auto.arima()自动获取最佳的ARIMA模型
auto.arima(data, trace=T)

## 
##  ARIMA(2,1,2) with drift         : Inf
##  ARIMA(0,1,0) with drift         : 1819.931
##  ARIMA(1,1,0) with drift         : 1819.509
##  ARIMA(0,1,1) with drift         : 1813.218
##  ARIMA(0,1,0)                    : 1817.877
##  ARIMA(1,1,1) with drift         : Inf
##  ARIMA(0,1,2) with drift         : 1799.305
##  ARIMA(1,1,3) with drift         : Inf
##  ARIMA(0,1,2)                    : 1798.392
##  ARIMA(1,1,2)                    : 1800.277
##  ARIMA(0,1,1)                    : 1811.528
##  ARIMA(0,1,3)                    : 1800.15
##  ARIMA(1,1,3)                    : 1802.362
## 
##  Best model: ARIMA(0,1,2)

## Series: data 
## ARIMA(0,1,2)                    
## 
## Coefficients:
##           ma1      ma2
##       -0.4065  -0.3744
## s.e.   0.0964   0.0958
## 
## sigma^2 estimated as 4222524:  log likelihood=-896.07
## AIC=1798.14   AICc=1798.39   BIC=1805.92

#最佳模型为arima(0, 1, 2)

#2)方法二、通过R中的“acf()”和“pacf”函数来做判断。
#①查看自相关图
#acf(data_diff1, lag.max = 100, plot = F)
#Error in na.fail.default(as.ts(x)) : 对象里有遺漏值 因为第一值为NA

data_diff <- data_diff1[2:100]
acf(data_diff, lag.max = 100)

#自相关图衰减趋于0

#②查看偏自相关图
pacf(data_diff, lag.max = 100)

#偏相关图滞后7阶后为0

#因此我们的arima模型为arima(7,1,0)

#5、创建ARIMA时间序列模型
#1）arima(0, 1, 2)模型
(data_arima1 <- arima(data, order = c(0, 1, 2), seasonal = list(order=c(1, 1, 0), period=7)))

## 
## Call:
## arima(x = data, order = c(0, 1, 2), seasonal = list(order = c(1, 1, 0), period = 7))
## 
## Coefficients:
##           ma1      ma2     sar1
##       -0.2362  -0.1553  -0.5600
## s.e.   0.1075   0.1028   0.0838
## 
## sigma^2 estimated as 1850149:  log likelihood = -795.75,  aic = 1599.49

#2)arima(7, 1, 0)模型
(data_arima <- arima(data, order=c(7, 1, 0), seasonal = list(order=c(1, 1, 0), period=7)))

## 
## Call:
## arima(x = data, order = c(7, 1, 0), seasonal = list(order = c(1, 1, 0), period = 7))
## 
## Coefficients:
##           ar1      ar2      ar3     ar4     ar5     ar6      ar7     sar1
##       -0.2829  -0.2128  -0.0180  0.0606  0.3164  0.0415  -0.0883  -0.5075
## s.e.   0.1040   0.1076   0.1076  0.1048  0.1062  0.1066   0.1520   0.1449
## 
## sigma^2 estimated as 1589493:  log likelihood = -789.34,  aic = 1596.68

#6、预测：预测一周的值
library(forecast)
forecast <- forecast.Arima(data_arima, h=7, level=c(99.5))
plot.forecast(forecast)

#7、检验
#1)做tsdiag检验
tsdiag(data_arima)

#Acf检验说明：残差没有明显的自相关性,Ljung-Box测试显示：所有的P-value>0.5，??说明残差为白噪声

#2）判断预测误差是否是平均值为零且方差为常数的正态分布
#为了调查预测误差是否是平均值为零且方差为常数的正态分布（服从零均值、方差不变的正态分布），我们可以做预测误差的时间曲线图和直方图（具有正态分布曲线）
plot.ts(forecast$residuals)

#时间序列：判断预测误差的方差是正态分布的函数
plotForecastErrors(forecast$residuals)

#观察上图可见，预测的误差呈现均值为0 ，方差恒定的正态分布，可见预测算法无法改进了。

实例三、航空公司销售数据

#1、加载数据：共有132条数据，是以月为单位的销售数据
airline <- read.table("F:\\R\\Rworkspace\\R时间序列教程/airline.txt")

#将数据转化为时间序列格式(ts)：由于将数据转化为时间序列格式，我们并不需要时间字段，因此只取airline数据的第二列，即销售数据，又因为该数据是以月为单位的，因此Period是12
airline2 <- airline[2]
air_ts <- ts(airline2, start=1, freq=12)

#查看趋势图
plot.ts(air_ts)

#由图可见，该序列还不平稳

#2、先做一次Log平滑，再做一次差分
air_log <- log(air_ts)
air_diff <- diff(air_log, differences=1)
plot(air_diff)

#这次看上去就比较平稳

#3、查看acf和pacf
acf(air_diff, lag.max = 30)

acf(air_diff, lag.max = 30, plot = F)

## 
## Autocorrelations of series 'air_diff', by lag
## 
## 0.0000 0.0833 0.1667 0.2500 0.3333 0.4167 0.5000 0.5833 0.6667 0.7500 
##  1.000  0.188 -0.127 -0.154 -0.326 -0.066  0.041 -0.098 -0.343 -0.109 
## 0.8333 0.9167 1.0000 1.0833 1.1667 1.2500 1.3333 1.4167 1.5000 1.5833 
## -0.120  0.199  0.833  0.198 -0.143 -0.110 -0.288 -0.046  0.036 -0.104 
## 1.6667 1.7500 1.8333 1.9167 2.0000 2.0833 2.1667 2.2500 2.3333 2.4167 
## -0.313 -0.106 -0.085  0.185  0.714  0.175 -0.126 -0.077 -0.214 -0.046 
## 2.5000 
##  0.029

pacf(air_diff, lag.max = 30)

pacf(air_diff, lag.max = 30, plot = F)

## 
## Partial autocorrelations of series 'air_diff', by lag
## 
## 0.0833 0.1667 0.2500 0.3333 0.4167 0.5000 0.5833 0.6667 0.7500 0.8333 
##  0.188 -0.169 -0.101 -0.317  0.018 -0.072 -0.199 -0.509 -0.171 -0.553 
## 0.9167 1.0000 1.0833 1.1667 1.2500 1.3333 1.4167 1.5000 1.5833 1.6667 
## -0.300  0.551  0.010 -0.200  0.164 -0.052 -0.037 -0.108  0.094  0.005 
## 1.7500 1.8333 1.9167 2.0000 2.0833 2.1667 2.2500 2.3333 2.4167 2.5000 
## -0.095 -0.001  0.057 -0.074 -0.048  0.024  0.073  0.047  0.010  0.033

#从ACF和PACF可以看出来，该序列在lag=12和lag=24处有明显的spike，说明该序列需要再做一次diff=12的差分。且PACF比ACF呈现更明显的指数平滑的趋势，因此先猜测ARIMA模型为：ARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12].

#4利用auto.arima：获取最佳的ARIMA模型
auto.arima(air_log, trace=T)

## 
##  ARIMA(2,1,2)(1,1,1)[12]                    : -354.4719
##  ARIMA(0,1,0)(0,1,0)[12]                    : -316.8213
##  ARIMA(1,1,0)(1,1,0)[12]                    : -356.4353
##  ARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12]                    : -359.7679
##  ARIMA(0,1,1)(1,1,1)[12]                    : -354.9069
##  ARIMA(0,1,1)(0,1,0)[12]                    : -327.5759
##  ARIMA(0,1,1)(0,1,2)[12]                    : -357.6861
##  ARIMA(0,1,1)(1,1,2)[12]                    : -363.2418
##  ARIMA(1,1,1)(1,1,2)[12]                    : -359.6535
##  ARIMA(0,1,0)(1,1,2)[12]                    : -346.1537
##  ARIMA(0,1,2)(1,1,2)[12]                    : -361.1765
##  ARIMA(1,1,2)(1,1,2)[12]                    : Inf
##  ARIMA(0,1,1)(2,1,2)[12]                    : -368.8244
##  ARIMA(0,1,1)(2,1,1)[12]                    : -368.1761
##  ARIMA(1,1,1)(2,1,2)[12]                    : -367.0903
##  ARIMA(0,1,0)(2,1,2)[12]                    : -363.7024
##  ARIMA(0,1,2)(2,1,2)[12]                    : -366.6877
##  ARIMA(1,1,2)(2,1,2)[12]                    : Inf

## Warning in auto.arima(air_log, trace = T): Unable to fit final model using
## maximum likelihood. AIC value approximated

## 
## 
##  Best model: ARIMA(0,1,1)(2,1,2)[12]

## Series: air_log 
## ARIMA(0,1,1)(2,1,2)[12]                    
## 
## Coefficients:
##           ma1     sar1     sar2     sma1     sma2
##       -0.2710  -0.4764  -0.1066  -0.0098  -0.1987
## s.e.   0.0995   0.1432   0.1087   0.1567   0.1130
## 
## sigma^2 estimated as 0.001188:  log likelihood=231.88
## AIC=-369.57   AICc=-368.82   BIC=-352.9

#最佳模型为：ARIMA(0,1,1)(2,1,2)[12] 

#5、参数估计：对两个模型进行参数比较
(air_arima1 <- arima(air_log, order=c(0,1,1), seasonal=list(order=c(0,1,1), period=12), method="ML"))

## 
## Call:
## arima(x = air_log, order = c(0, 1, 1), seasonal = list(order = c(0, 1, 1), period = 12), 
##     method = "ML")
## 
## Coefficients:
##           ma1     sma1
##       -0.3484  -0.5622
## s.e.   0.0943   0.0774
## 
## sigma^2 estimated as 0.001313:  log likelihood = 223.63,  aic = -441.26

(air_arima2 <- arima(air_log, order=c(0,1,1), seasonal=list(order=c(2,1,2), period=12), method="ML"))

## 
## Call:
## arima(x = air_log, order = c(0, 1, 1), seasonal = list(order = c(2, 1, 2), period = 12), 
##     method = "ML")
## 
## Coefficients:
##           ma1    sar1     sar2     sma1    sma2
##       -0.3547  1.0601  -0.1165  -1.9158  0.9964
## s.e.   0.0995  0.1090   0.1812   0.3942  0.3877
## 
## sigma^2 estimated as 0.0009784:  log likelihood = 225.56,  aic = -439.12

#两个ARIMA模型都采用极大似然方法估计，计算系数对应的t值：
#ARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12] ：t(ma1)=-39.1791, t(sma1)=-93.8445
#ARIMA(0,1,1)(2,1,2)[12] : t(ma1)=-35.8173,t(sar1)=88.68383,t(sar2)=-3.56141,t(sma1)=-12.6615,t(sma2)= 6.855526

#可见两个模型的系数都是显著的，而ARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12]的AIC和BIC比ARIMA(0,1,1)(2,1,2)[12]的要小，因此选择模型ARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12]。

#6、预测五年后航空公司的销售额
(air_forecast <- forecast.Arima(air_arima1, h=5, level=c(99.5)))

##        Point Forecast  Lo 99.5  Hi 99.5
## Jan 12       6.038649 5.936951 6.140348
## Feb 12       5.988762 5.867380 6.110143
## Mar 12       6.145428 6.007137 6.283719
## Apr 12       6.118993 5.965646 6.272340
## May 12       6.159657 5.992605 6.326709

plot.forecast(air_forecast)

#7、检验
#1）tsdiag检验误差的自相关性
tsdiag(air_arima1)

#检验预测误差是否是均值为0，方差为常数的正态分布
plot.ts(forecast$residuals)

plotForecastErrors(air_forecast$residuals)