【线性代数公开课MIT Linear Algebra】 第十课 四个子空间

本系列笔记为方便日后自己查阅而写，更多的是个人见解，也算一种学习的复习与总结，望善始善终吧~

四个基本子空间

到目前为止，我们详细的探讨了column space 和null space，接下来我们将引申到row space与其对应的null space，通常我们称之为**左零空间**left null space，这四个子空间就是本课内容。

基本概念

列空间是由列向量构成的空间，行空间则是由行向量构成的空间

换个角度来看，row space就是原矩阵转置后的column space(行列颠倒了嘛)
同样的，left null space也可以看出是原矩阵转置后的null space

性质

行空间 row space

维数 dimension

对于column space 我们知道其dimension就是rank

对于矩阵来说， rank(A)=rank(AT)

由上可知，row space的dimension就是 rank(AT) ，这意味着它和column space的dimension 是相同的。

基 basics

还记得rref(行最简式)？其化简过程为行变换，实际上就是对row vector进行线性组合linear combination，其行空间并不会发生改变，而我们最终得到的行最简矩阵 R 的非零行向量就是矩阵 R 的row space的basics，也就是原矩阵的row space的basics。
同理，column space 的basics可由矩阵转置后的rref获得。

左零空间 left null space

性质

对于 ATy=0 ，两边都转置transpose，得 yTA=0

现在方程的形式是一个行向量左乘一个矩阵，因此得名left null space。

维数 dimension

null space的维数是 矩阵的列数n−rank ，同理易知left null space的维数是 矩阵的行数m−rank

基 basics

观察我们化简行最简rref的过程，中间所有的化简步骤都可以用一个矩阵 E 表示，我们发现最终的R里面存在零向量， R 中的每一行都是A中的column vector线性组合的结果，这意味着如果 y取R 中零向量所在的行对应 E 中的row vector，我们可以得到零向量，即该 E 的row vector就是解，这就是我们要找的基basics。

老师最后引入了矩阵空间matrix space，从 Rn进入了Rn∗n 又一次刷新了我的三观，具体的得看下一节课了。

PS：更详细的课堂笔记见另一位仁兄的笔记 http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/13294493
PS2：文中各种英文的原因在于我急于熟悉这些概念的英文名称，而一直重复记录和理解是我目前能想到的一个笨办法