Camera Calibration 相机标定：原理简介（三）

3 绝对圆锥曲线

在进一步了解相机标定前，有必要了解绝对圆锥曲线（Absolute Conic）这一概念。

对于一个3D空间的点 x ，其投影空间的坐标为： x~=[x1,x2,x3,x4]T 。我们定义无穷远处的平面用符号 Π∞ 表示，该平面内的投影空间点坐标满足 x4=0 ，则位于圆锥曲线 Ω 上的点满足：

{x21+x22+x23=0x4=0.(1)

令 x∞=[x1,x2,x3]T 是绝对圆锥曲线 Ω 上的点，如上图所示。由定义可知 xT∞x∞=0 ，同时也有 x~∞=[x1,x2,x3,0]T 满足 x~T∞x~∞=0 。读至此处，我们发现不管是 Π∞ 和 Ω ，还是 x∞ 和 x~∞ 都是存粹想象出来的，很难在实际生活里找到实例，但是科学就是这么迷人，给定一个起始点，想象和求知探索的渴求却不受其限制，直至永无止境。

让我们再看公式 (1) ，如果我们令： x=x1/x3 ， y=x2/x3 ，显而易见，位于曲线 Ω 上的点方程就可以写成： x2+y2=−1 ，这就是一个圆方程，只不过我们所想象出来的这个虚拟圆的半径为 −1−−−√ ，当然对于了解复数（Complex number）概念的我们，这并没什么不可。

此时，或许我们会困惑，为什么要费尽心机想象出绝对圆锥曲线呢？原因在于绝对圆锥曲线所具有的一条重要特性：对于刚体变换具有不变性，这么说是不是有点不明觉厉，那就继续往下看。

首先简单讲一下刚体变换：只有物体的位置（平移变换）和朝向（旋转变换）发生改变，而形状不变，得到的变换称为刚体变换。以三维刚体变换为例：

x=[R  t]X(2)

或者表述为：

x=RX+t   or   x=R(X+C)(3)

令 H=[R0t1] ，对于位于绝对圆锥曲线 Ω 上的点 x~∞=[x∞0] ，刚体变换后的点 x~′∞ 可表示为：

x~′∞=Hx~∞=[Rx∞0](4)

则 x′∞ 很明显也是位于无穷远平面上的点，而且是位于同一绝对圆锥曲线 Ω 上点：

x′T∞x′∞=(Rx∞)T(Rx∞)=xT∞(RTR)x∞=0(5)

令绝对圆锥曲线 Ω 对应的图像称为 ω ，也被简记为IAC（Image of the absolute conic），当然这也是想象出来的~于是对于 Ω 上的任一点 x∞ ，其像点 m∞ 满足：

m~∞=sA[R  t][x∞0]=sARx∞(6)

m~∞A−TA−1m~∞=s2xT∞RTRx∞=s2xT∞x∞=0(7)

因此，绝对圆锥曲线成像构成一个虚构曲线，并且由公式 (7) 可以看出，这个虚拟曲线由 A−TA−1 决定，这与相机的外参完全无关，而仅仅由相机内参决定。可以设想，如果我们找到了绝对圆锥曲线通过相机所成的图像，那就可以求解出相机内参。至此，我想大家也就明白为什么会提出Absolute Conic这一概念了吧。事实上，这一理论在相机自检校标定法（Self-calibration）中作为基础理论，十分重要。

后续文章将会为大家介绍几种确定绝对圆锥曲线 Ω 对应的图像 ω 的方法。