算法复杂度分析
一 、时间复杂度
算法复杂度分为时间复杂度和空间复杂度。其作用： 时间复杂度是度量算法执行的时间长短；而空间复杂度是度量算法所需存储空间的大小。任何算法运行所需要的时间几乎总是取决于他所处理的数据量，在这里我们主要说时间复杂度。对于一个给定计算机的算法程序，我们能画出运行时间的函数图。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
1. 一般情况下，算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一个函数f（n），因此，算法的时间复杂度记做：T（n）=O（f（n））
分析：随着模块n的增大，算法执行的时间的增长率和f（n）的增长率成正比，所以f（n）越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。 2. 在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，再找出T（n）的同数量级（它的同数量级有以下：1<Log2n <n <nLog2n <n的平方<n的三次方<2的n次方<n！），找出后，f（n）=该数量级，若T(n)/f(n)求极限可得到一常数c，则时间复杂度T（n）=O（f（n））, 例：- for（i=1;i<=n;++i）
- {
- for(j=1;j<=n;++j)
- {
- c[ i ][ j ]=0; //该步骤属于基本操作 执行次数：n的平方 次
- for(k=1;k<=n;++k)
- c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //该步骤属于基本操作 执行次数：n的三次方 次
- }
- }
3.在pascal中比较容易理解，容易计算的方法是：看看有几重for循环，只有一重则时间复杂度为O（n）,二重则为O（n^2），依此类推，如果有二分则为O(logn)，二分例如快速幂 、二分查找，如果一个for循环套一个二分，那么时间复杂度则为O(nlogn)。
按数量级递增排列，常见的 时间复杂度 有： 常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n^2)，立方阶O(n^3),...， k次方阶O(n^k), 指数阶O(2^n) 。随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大， 算法 的执行效率越低。
根据定义，可以归纳出基本的计算步骤
1. 计算出基本操作的执行次数T(n)
基本操作即算法中的每条语句（以;号作为分割），语句的执行次数也叫做语句的频度。在做算法分析时，一般默认为考虑最坏的情况。
2. 计算出T(n)的数量级
求T(n)的数量级，只要将T(n)进行如下一些操作：
忽略常量、低次幂和最高次幂的系数，令f(n)=T(n)的数量级。
3. 用大O来表示时间复杂度
当n趋近于无穷大时，如果lim(T(n)/f(n))的值为不等于0的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))。
一个示例：
- int num1, num2;
- for(int i=0; i<n; i++){
- num1 += 1;
- for(int j=1; j<=n; j*=2){
- num2 += num1;
- }
- }
1.
语句int num1, num2;的频度为1；
语句i=0;的频度为1；
语句i<n; i++; num1+=1; j=1; 的频度为n；
语句j<=n; j*=2; num2+=num1;的频度为n*log2n；
T(n) = 2 + 4n + 3n*log2n
2.
忽略掉T(n)中的常量、低次幂和最高次幂的系数，f(n) = n*log2n
3.
lim(T(n)/f(n)) = (2+4n+3n*log2n) / (n*log2n)
= 2*(1/n)*(1/log2n) + 4*(1/log2n) + 3
当n趋向于无穷大，1/n趋向于0，1/log2n趋向于0
所以极限等于3。T(n) = O(n*log2n)
简化的计算步骤
再来分析一下，可以看出，决定算法复杂度的是执行次数最多的语句，这里是num2 += num1，一般也是最内循环的语句。并且，通常将求解极限是否为常量也省略掉？
于是，以上步骤可以简化为：
1. 找到执行次数最多的语句
2. 计算语句执行次数的数量级
3. 用大O来表示结果
继续以上述算法为例，进行分析：
1.
执行次数最多的语句为num2 += num1
2.
T(n) = n*log2n
f(n) = n*log2n
3.
// lim(T(n)/f(n)) = 1
T(n) = O(n*log2n)
二、插入排序算法的时间复杂度
现在研究一下插入排序算法的执行时间，按照习惯，输入长度LEN以下用n表示。设循环中各条语句的执行时间分别是c1、c2、c3、c4、c5这样五个常数：
- void insertion_sort(void) 执行时间
- {
- int i, j, key;
- for (j = 1; j < LEN; j++) {
- key = a[j]; c1
- i = j - 1; c2
- while (i >= 0 && a[i] > key) {
- a[i+1] = a[i]; c3
- i--; c4
- }
- a[i+1] = key; c5
- }
- }
显然外层for循环的执行次数是n-1次，假设内层的while循环执行m次，则总的执行时间粗略估计是(n-1)*(c1+c2+c5+m*(c3+c4))。当然，for和while后面()括号中的赋值和条件判断的执行也需要时间，而我没有设一个常数来表示，这不影响我们的粗略估计。
这里有一个问题，m不是个常数，也不取决于输入长度n，而是取决于具体的输入数据。在最好情况下，数组a的原始数据已经排好序了，while循环一次也不执行，总的执行时间是(c1+c2+c5)*n-(c1+c2+c5)，可以表示成an+b的形式，是n的线性函数（Linear Function）。那么在最坏情况（Worst Case）下又如何呢？所谓最坏情况是指数组a的原始数据正好是从大到小排好序的，请读者想一想为什么这是最坏情况，然后把上式中的m替换掉算一下执行时间是多少。
数组a的原始数据属于最好和最坏情况的都比较少见，如果原始数据是随机的，可称为平均情况（Average Case）。如果原始数据是随机的，那么每次循环将已排序的子序列a[1..j-1]与新插入的元素key相比较，子序列中平均都有一半的元素比key大而另一半比key小，请读者把上式中的m替换掉算一下执行时间是多少。最后的结论应该是：在最坏情况和平均情况下，总的执行时间都可以表示成an2+bn+c的形式，是n的二次函数（Quadratic Function）。
在分析算法的时间复杂度时，我们更关心最坏情况而不是最好情况，理由如下：
-
最坏情况给出了算法执行时间的上界，我们可以确信，无论给什么输入，算法的执行时间都不会超过这个上界，这样为比较和分析提供了便利。
-
对于某些算法，最坏情况是最常发生的情况，例如在数据库中查找某个信息的算法，最坏情况就是数据库中根本不存在该信息，都找遍了也没有，而某些应用场合经常要查找一个信息在数据库中存在不存在。
-
虽然最坏情况是一种悲观估计，但是对于很多问题，平均情况和最坏情况的时间复杂度差不多，比如插入排序这个例子，平均情况和最坏情况的时间复杂度都是输入长度n的二次函数。
比较两个多项式a1n+b1和a2n2+b2n+c2的值（n取正整数）可以得出结论：n的最高次指数是最主要的决定因素，常数项、低次幂项和系数都是次要的。比如100n+1和n2+1，虽然后者的系数小，当n较小时前者的值较大，但是当n>100时，后者的值就远远大于前者了。如果同一个问题可以用两种算法解决，其中一种算法的时间复杂度为线性函数，另一种算法的时间复杂度为二次函数，当问题的输入长度n足够大时，前者明显优于后者。因此我们可以用一种更粗略的方式表示算法的时间复杂度，把系数和低次幂项都省去，线性函数记作Θ(n)，二次函数记作Θ(n2)。
Θ(g(n))表示和g(n)同一量级的一类函数，例如所有的二次函数f(n)都和g(n)=n2属于同一量级，都可以用Θ(n2)来表示，甚至有些不是二次函数的也和n2属于同一量级，例如2n2+3lgn。“同一量级”这个概念可以用下图来说明（该图出自[算法导论]）：
图 11.2. Θ-notation
如果可以找到两个正的常数c1和c2，使得n足够大的时候（也就是n≥n0的时候）f(n)总是夹在c1g(n)和c2g(n)之间，就说f(n)和g(n)是同一量级的，f(n)就可以用Θ(g(n))来表示。
以二次函数为例，比如1/2n2-3n，要证明它是属于Θ(n2)这个集合的，我们必须确定c1、c2和n0，这些常数不随n改变，并且当n≥n0以后，c1n2≤1/2n2-3n≤c2n2总是成立的。为此我们从不等式的每一边都除以n2，得到c1≤1/2-3/n≤c2。见下图：
图 11.3. 1/2-3/n
这样就很容易看出来，无论n取多少，该函数一定小于1/2，因此c2=1/2，当n=6时函数值为0，n>6时该函数都大于0，可以取n0=7，c1=1/14，这样当n≥n0时都有1/2-3/n≥c1。通过这个证明过程可以得出结论，当n足够大时任何an2+bn+c都夹在c1n2和c2n2之间，相对于n2项来说bn+c的影响可以忽略，a可以通过选取合适的c1、c2来补偿。
几种常见的时间复杂度函数按数量级从小到大的顺序依次是：Θ(lgn)，Θ(sqrt(n))，Θ(n)，Θ(nlgn)，Θ(n2)，Θ(n3)，Θ(2n)，Θ(n!)。其中，lgn通常表示以10为底n的对数，但是对于Θ-notation来说，Θ(lgn)和Θ(log2n)并无区别（想一想这是为什么），在算法分析中lgn通常表示以2为底n的对数。可是什么算法的时间复杂度里会出现lgn呢？回顾插入排序的时间复杂度分析，无非是循环体的执行时间乘以循环次数，只有加和乘运算，怎么会出来lg呢？下一节归并排序的时间复杂度里面就有lg，请读者留心lg运算是从哪出来的。
除了Θ-notation之外，表示算法的时间复杂度常用的还有一种Big-O notation。我们知道插入排序在最坏情况和平均情况下时间复杂度是Θ(n2)，在最好情况下是Θ(n)，数量级比Θ(n2)要小，那么总结起来在各种情况下插入排序的时间复杂度是O(n2)。Θ的含义和“等于”类似，而大O的含义和“小于等于”类似。受内存管理机影响，指令的执行时间不一定是常数，但执行时间的上界（Upper Bound）肯定是常数，我们这里假设语句的执行时间是常数只是一个粗略估计。
三、常用的算法的时间复杂度和空间复杂度