chapter2 图形系统 2.2变换

说明：本书中遵循的一些书写习惯为列向量，左乘，逆时针旋转为正方向（符合右手定则）。

变换分为线性变换，仿射变换和投影变换。这三种变换表达式不同，但都可以用形如Y=MX的式子表达，其中Y,X是齐次坐标，M是4阶齐次方阵。

一，线性变换

符合线性规则的变换就叫线性变换。已知变换Y=L(X),若L(cU+V)=cL(U)+L(V)，则称变换Y=L(X)为线性变换。

线性变换的矩阵表达形式为Y=MX，显然，M(cU+V）=cMU+cV，符合线性规则。

常见的线性变换有旋转（绕原点），对映，缩放和切变。

1.旋转。

二维空间中旋转矩阵R==

其中，I=，     S=

三维空间中绕z轴的旋转矩阵R==

绕y轴的旋转矩阵为R==

绕x轴的旋转矩阵为R==

对于任意轴的方向向量N,其坐标为则S=

旋转矩阵R=

其中

2..对映

由上图可知，，   ，  c=

两式相减并代入c得，

所以，对于平面法向量N=

对映矩阵R=

（注：对角元素中的n1和n2也是平方！！！！！）

3.缩放

书中介绍了两种求缩放矩阵的思路，这里只写出比较直观易懂的方法。

思路如下，先将待变换的向量变换到D,U,R（D,U,R为缩放的三个方向）组成的坐标系下，然后对每一个坐标分别乘以相应的缩放系数即可。

假设对应于D,U,R三个方向的缩放系数分别为，则缩放矩阵为

S=

4.切变

由于切变很少用到，这里不做讲述，详见27到28页。

二，仿射变换。

仿射变换可用形如Y=MX+B的式子表示。

其中，M代表某个线性变换，B代表平移量。它表示先对向量进行线性变换，再进行平移变换。

常见的形式有两种，平移和绕非原点的点旋转。

三，投影变换。

分为正交投影，斜投影和透视投影。

其中，正交投影和斜投影属于仿射变换，透视投影既不是线性变换，也不是仿射变换。

它相当于先进行一次仿射变换，再除以一个与待投影向量本身有关的量（此除法称为prospective divide）。

1.点到线的正交投影

其中，X为待投影点，Y为投影点，D为直线的方向向量，P为直线上一点。

由上图可知，

上式代入下式，得

=MX+B，

其中，M=,    B=

2.点到面的正交投影。

 

其中，X为待投影点，Y为投影点，P为平面内一点，N为平面的法向量。

由上图可知，

下式代入上式，得

=MX+B

其中，M=,     B=

3.点到面的斜投影。

如上图，P为平面内一点，N为平面法向量，X为待投影点，Y为投影点，D为直线的方向向量。

由上图可得，

下式代入上式可得，

其中，

4.点到面的透视投影。

如上图所示，E为视点，X为待投影点，Y为投影后的点，P为平面内一点，N为平面法向量。

  透视投影与平行投影（正交投影和斜投影）的区别是平行投影的投影光线全部是平行的，而透视投影的投影光线则来源于一个共同的点，该点即为视点。

由上图可得，

其中，t>0

4.透视投影的一种特殊情况下的简化版本。

  上述的透视投影中的点是基于笛卡尔坐标系的，具有普遍性，它适用于任意的视点和任意的投影面。

  在渲染管线当中，有一种特殊情况，即点的坐标基于坐标系统{E;D,U,R}。其中，E为透视点即视点。投影面的法向量与视线方向相反，即 。此时，对于任意点，其基座标为（d，u，r）。并且现在，我们寻找这样一个点，它在投影面上，并且到视点E的距离最短（设此距离为）。显然，这个点就是视点E到投影面的正交投影。通过几何关系，我们可以得到：

                           

将以上四个共识代入一般情况下的投影方程，可得

                          

也就是说点被投影到了点

更进一步，通常情况下，，因此上式可进一步简化为我们发现所有点在投影后第一个坐标恒为1，这是必然的。

5.透视投影的一条重要性质：变换的非线性性质。

我们可以发现，从所有的线性变换和仿射变换一直到投影中的平行投影，其变换方程均为线性方程，而唯独透视投影的变换方程为非线性方程，这说明，在进行透视投影之后，原来分布均匀的一条直线上的点，变成了分布不均匀的直上一串点，这在光栅化的过程中会引起失真，解决方法是用某个参数进行校正，参数的求法此处略，详见P36---P39

四，将所有的变换用同一种形式——齐次矩阵来表示。

1.线性变换。

其中，为3阶方阵，为3维列向量。

2.仿射变换

其中，为平移向量。

3.透视投影（正交投影和斜投影都是仿射变换）

说明：

  对于透视投影以外的其他变换，左乘矩阵一步即可完成。

而对于透视投影，左乘矩阵这一步并没有进行真正的投影变换，它仅仅是为透视除法准备w,透视除法完成后，才算是完成了投影变换。

  另外，这些矩阵在实际的渲染过程中并不是单独出现的，而是以连接矩阵的形式出现，并且，透视矩阵并不是最后的矩阵，还要进一步转变为裁减矩阵。