循环前缀在OFDM中应用（一）

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本来前几天有很多想记录的点滴，但是由于CSDN密码泄露事件，无法登录导致思绪无法整合到当初的意像里，所以今天打算把偶然发现的一个‘idea’,及时记录下来，以便以后更好地回忆和修改。

            CP在OFDM中可以简单总结为两个作用：1）消除ISI  2)消除ICI。对于第一点，很好理解，当信道的冲激相应长度小于CP的长度时，延时的前一个符号没有机会进入后一个符号的区间来影响，从而可以消除ISI。然而对于第二个ICI的问题，最初刚接触OFDM的时候，我是有点朦胧的感觉，外加一点数字信号处理里的 循环卷积与线性卷积的关系，我大概有个定性理解。来自北邮版通信原理教材的话 “采用循环前缀后，信道输出的后N个样值（去除CP后）是发送序列和信道冲激响应的循环卷积”

        好吧~我们先就看看到底是不是这么回事，依稀还记得循环卷积与线性卷积的丁点关系“在时域上以N为周期对线性卷积的结果作延拓相加得到一周期序列，该序列的主值区间就是N点循环卷积的结果”为了不产生混叠N>=N1+N2-1。

        我们先用matlab来实验下通过CP把线性卷积变换为循环卷积，这样做的作用其实就是“保持频率的正交性”，具体解释后面会提到。先看程序：

                                  

输出结果：

                         

从中我们可以很清楚的看见：当我们把经过信道后接受到的序列去掉循环前缀CP的长度后（本题为3），接下来的N点（本题为8）与r2（也就是循环卷积结果）相同。而循环卷积在频域是怎么表示的呢？就是R(k) = S(k)*H(k),而每个S(k)上的数据就是原始的调制数据（也就是经过星座映射后的符号），从这里我们可以有个直观的理解：我们把信道划分为了N个平坦的信道，每个子载波间没有干扰（也就是相邻k上的数据不会串扰，每一个子载波上的数据经过信道后，无非是受到了H(k)的加权，包括幅度和相位），这样的就大大降低了均衡的复杂度，我们在估计信道特性（CSI），无非就是获得尽可能精确的H(k)的值，然后逆运算恢复原始数据。

结论：当CP长度大于信道冲级响应的长度时，可以完全消除ISI和ICI。

后记：下篇将从矩阵特性来分析加CP的作用，可以看见矩阵在通信里的广泛运用。

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