动态大系统方法导论（三）-动态系统的输入输出可达性及结构矩阵的一般秩

2.5.2         动态系统的输入输出可达性及结构矩阵的一般秩

1.动态系统的结构化描述

动态系统：有微分方程描述。考虑因果关系

例：

 

网络如图1所示。

 

图1

线性化以后得：

 

 

如图2所示，A、B邻接矩阵中的非零元素表示行节点受到列节点的影响。

图2

邻接矩阵如图3所示。

图3

 

2邻接矩阵与可达矩阵

考虑一线性定常系统

 

把数学描述A、B、C中的恒为0的元素记为0，将非零元素记为叉，则得到了对应的结构描述：

、、

以分块组合的形式来表示，就能得到系统的邻接矩阵，如图4所示。

图4

其中

可以看到，邻接矩阵中的结构化矩阵都是转置的，其实将矩阵写开就能发现原因：

分块矩阵和其中的小元素都需要满足邻接矩阵的定义脚标ij，代表的时候j对i的影响。为了调和两者的矛盾，因此必须转置。

3．输入输出可达性判断

可达矩阵为

其中为输出可达矩阵，为输入可达矩阵。

 

 

对于上例，输出方程为

圈圈叉叉实在懒得打字了，就拍下来好了，其输入、输出可达矩阵如图5所示。

图5

可见该系统输入可达，输出不可达，因为其输出可达矩阵不满足行满秩。

 

4.结构矩阵的一般秩（generic rank）

就是结构矩阵对应的数值矩阵所能取得的最大秩。

至于其解析算法请参看：

• Johnston R D, Barton G W, Brisk M L. Determination of the generic rank of structural matrices[J]. International Journal of Control, 1984, 40(2): 257-264.