【回溯法】装载问题

有一批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮船，其中集装箱i的重量为wi，且w1+w2+...+wn<=c1+c2。

装载问题要求确定，是否有一个合理的装载方案可将这n个集装箱装上这2搜轮船。如果有，找出一种方案。

分析：如果一个给定的装载问题有解，则采用下面的策略可以得到最有装载方案。（1）首先将第一艘轮船尽可能装满；（2）然后将剩余的集装箱装上第二艘轮船。将第一艘轮船装满等价于选取全体集装箱的一个子集，使该子集的集装箱重量之和最接近c1。

递归回溯

#include <iostream>
using namespace std;

typedef int Type;

template<typename Type> class Loading;
template<typename Type>
Type MaxLoading(Type w[], Type c, int n, int bestx[]);

template<typename Type>
class Loading
{
public:
	friend Type MaxLoading<Type>(Type w[], Type c, int n, int bestx[]);
private:
	void Backtrack(int i);
	int n,			//集装箱数
		*x,			//当前解
		*bestx;		//当前最优解
	Type* w,		//集装箱重量数组
		c,			//第一艘轮船的载重量
		cw,			//当前载重量
		bestw,		//当前最优载重量
		r;			//剩余集装箱重量
};

template<typename Type>
void Loading<Type>::Backtrack(int i)
{//搜索第i层结点
	if(i>n)
	{//到达叶结点
		if(cw>bestw)
		{
			for(int j=1; j<=n; ++j)
				bestx[j]=x[j];
			bestw=cw;
		}
		return;
	}
	//搜索子树
	r -= w[i]; //当前处理的是第i个集装箱，r是i个之后所有集装箱的重量和，所以深入一层之后要减去此箱重量
	if(cw+w[i] <= c)
	{//搜索左子树
		x[i]=1;
		cw+=w[i];
		Backtrack(i+1);
		cw-=w[i];
	}
	//搜索右子树
	if(cw+r > bestw)
	{
		x[i]=0;
		Backtrack(i+1);
	}
	r += w[i];//处理完右子树 回上一层时要加上这层的重量
}


template<typename Type>
Type MaxLoading(Type w[], Type c, int n, int bestx[])
{//返回最优载重量
	Loading<Type> X;
	//初始化X
	X.x = new int[n+1];
	X.w = w;
	X.c = c;
	X.n = n;
	X.bestx = bestx;
	X.bestw = 0;
	X.cw = 0;
	//初始化r
	X.r = 0;
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		X.r += w[i];
	X.Backtrack(1);
	delete [] X.x;
	return X.bestw;
}

int main(int argc, char* argv[])
{
	int n;
	Type c;
	cout << "输入集装箱数目:" << endl;
	cin >> n;
	Type *w=new Type[n+1];
	int *bestx=new Type[n+1];
	cout<<"输入"<<n<<"个质量数:"<<endl;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>w[i];
	cout << "输入第一艘轮船的载重量c：" << endl;
	cin >> c;

	cout << MaxLoading<Type>(w, c, n, bestx) << endl;

	for(int i=1; i<=n; ++i)
		cout<< bestx[i] << ",";

	cout << "Press the enter key to exit";
	cin.ignore(cin.rdbuf()->in_avail()+1);
	return 0;
}

迭代回溯

#include<iostream>
using namespace std;

typedef int Type;

template<typename Type>
Type MaxLoading(Type w[], Type c, int n, int bestx[])
{//迭代回溯法
	//返回最优载重量及其相应解
	//初始化根结点
	int i=1; //当前层
	// x[1:i-1]为当前路径
	int *x = new int[n+1];
	Type bestw=0,		//当前最优载重量
		cw=0,			//当前载重量
		r=0;			//剩余集装箱重量
	for(int j=1; j<=n; ++j)
		r+=w[j];
	//搜索子树
	while(true)
	{
		while(i<=n && cw+w[i]<=c)
		{//进入左子树
			r-=w[i];
			cw+=w[i];
			x[i]=1;
			i++;
		}
		if(i>n)
		{//到达叶结点
			for(int j=1; j<=n; ++j)
				bestx[j]=x[j];
			bestw=cw;
		}else
		{//进入右子树
			r-=w[i];
			x[i]=0;
			i++;
		}
		while(cw+r<=bestw) // 当前最优载重量 >= 当前载重量 + 剩余集装箱重量
		{//剪枝回溯
			i--;
			while(i>0 && !x[i])
			{//从右子树返回
				r+=w[i];
				i--;
			}
			if(i==0)
			{
				delete [] x;
				return bestw;
			}
			//进入右子树
			x[i]=0;
			cw-=w[i];
			i++;
		}
	}
}

int main(int argc, char* argv[])
{
	int n;
	Type c;
	cout << "输入集装箱数目:" << endl;
	cin >> n;
	Type *w=new Type[n+1];
	int *bestx=new Type[n+1];
	cout<<"输入"<<n<<"个质量数:"<<endl;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>w[i];
	cout << "输入第一艘轮船的载重量c：" << endl;
	cin >> c;

	cout << MaxLoading<Type>(w, c, n, bestx) << endl;

	for(int i=1; i<=n; ++i)
		cout<< bestx[i] << ",";
	
	cout << "Press the enter key to exit";
	cin.ignore(cin.rdbuf()->in_avail()+1);
	return 0;
}