【线性代数公开课MIT Linear Algebra】 第二十一课 特征值与特征向量

本系列笔记为方便日后自己查阅而写，更多的是个人见解，也算一种学习的复习与总结，望善始善终吧~

何为特征向量、特征值

Ax 就好比f(x)，这是一种针对多维的操作，而我们关心的就是经过变换后方向不变的向量即 Ax=λx ，x就是特征向量， λ 就是特征值。

我们的目的就是要找到矩阵 A 的所有特征值和对应的特征向量，很自然的我们会关注存在 λ 为零的情况，此时要想特征向量 x 存在，那么就等于要使得 Ax=0 中的 A 为奇异矩阵Singular Matrix，反之，当 A 为奇异矩阵Singular Matrix，则0为其中一个特征值，特征向量在其null space。

试试看不同矩阵有何特性吧，对于投影矩阵，很明显在其column space中的vector的投影就是它自己，其方向不变，故存在特征值为1的特征向量，还有一个什么样的向量？垂直于column space的，因为垂直时投影为0，存在特征值为0的特征向量（垂直于column space）。

剧透关于特征值的性质

n∗n 矩阵有 n 个特征值；特征值的和等于矩阵对角线上所有元素的和，这被称为迹trace；特征值的积等于行列式的值。

回到 Ax=λx

Ax=λx
⇒(A−λI)x=0
⇒(A−λI)为奇异矩阵
⇒det(A−λI)=0
这个方程就是求解特征值的核心，有了方程我们就可以解出特征值，有了特征值就能求解对应的特征向量。

好玩的性质

对于 A 矩阵和 A+3I 这个矩阵的特征值和特征向量有什么特点？
Ax=λx 而 (A+3I)=λx+3x=(λ+3)x
所以特征向量不变，特征值加3，这或许从另一个角度帮助我们理解何为“特征”。

一些特殊的情况

这东西看起来没有特征向量，貌似我们找不到一个旋转90度后是其本身的向量

看具体的方程，好吧，我们发现了，解居然是复数，这下麻烦了，现在要在线性代数引入复数啊！难怪老师说这里会是问题的根源。
回过头来观察一下，你会发现越是接近对称的矩阵，其值就越是倾向于实数，而越是接近反对称的矩阵，其值就越是倾向于复数。

更糟糕的情况

老师说：这节课把所有麻烦的情况都讲了，这样我们下节课就可以开心了。哎，我们经历了有解，看似无解实则有复数解，差一个看似有解结果解一样和无解。老师讲了一个有重复解：

这个情况下我们只能解出一个特征向量，这样的矩阵我们称呼为退化矩阵。

PS：另一位仁兄的笔记
http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/13998953