数学基础：矩阵

矩阵的概念：

数学上，一个m×n的矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。

如下是一个m×n的矩阵（m行n列）：

Am×n=(aij)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟

同型矩阵：

如果，矩阵 Am×n 和矩阵 Bm×n 都是m×n的矩阵，则这两个矩阵为同型矩阵。

矩阵相等：

如果矩阵 Am×n 和矩阵 Bm×n 互为同型矩阵，并且对应元素相等 aij = bij 。则两个矩阵相等。

行向量与列向量：

行向量是一个 1×n的矩阵，即矩阵由一个含有n个元素的行所组成：

α=（a1,a2,⋯,an）=[a1a2⋯an]

列向量是一个 n×1 的矩阵，即矩阵由一个含有n个元素的列所组成。（列向量的转置是一个行向量，反之亦然）：

β=αT=（a1,a2,⋯,an）T=⎡⎣⎢⎢⎢⎢a1a2⋮an⎤⎦⎥⎥⎥⎥

方阵（n阶矩阵）：

n行n列的矩阵是一个方阵，也叫做n阶矩阵，如 An ：

An×n=(aij)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟

零矩阵：

所有元素都是0的矩阵。

单位矩阵（E）：

主对角元素为1，其他元素为0的方阵是单位矩阵，如 En ：

En=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜10000100⋯⋯⋱⋯00⋮1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟

数量矩阵（kE）：

主对角元素为K，其他元素为0的方阵是数量矩阵（就是一个数乘以一个单位矩阵），如 kEn ：

En=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜k0000k00⋯⋯⋱⋯00⋮k⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟

对角矩阵：

主对角是非零元素但未必相同，其他元素为0的方阵是对角矩阵，如 λn ：

λn=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜λ10000λ200⋯⋯⋱⋯00⋮λn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟

矩阵的计算：

矩阵相加：

在同型矩阵中。两个m×n矩阵A和B的和，标记为A+B，得到的仍一是个m×n矩阵，其内的各元素为其相对应元素相加后的值。例如：

⎡⎣⎢111302⎤⎦⎥+⎡⎣⎢072051⎤⎦⎥=⎡⎣⎢1+01+71+23+00+52+1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢183353⎤⎦⎥

矩阵相减：

A-B内的各元素为其相对应元素相减后的值：

⎡⎣⎢111302⎤⎦⎥−⎡⎣⎢072051⎤⎦⎥=⎡⎣⎢1−01−71−23−00−52−1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢1−6−13−51⎤⎦⎥

矩阵相乘：

当矩阵A的列数和矩阵B的行数相等时才有意义。
如 Am×n ， Bn×p ，因为A的列（n）和B的行（n）相同，所以他们可以相乘，它们的乘积为 ABm×p ;

例如 A2×3 × B3×2 ：

[1−10321]×⎡⎣⎢321110⎤⎦⎥=[(1×3+0×2+2×1)(−1×3+3×2+1×1)(1×1+0×1+2×0)(−1×1+3×1+1×0)]=[5412]

• 乘法不满足交换律 ： AB ≠ BA；
• 乘法结合律 ： （AB）C=A（BC）；
• 乘法分配律： A（B+C）=AB+AC，（B+C）A=BA+CA；
• 乘法和数乘结合律： λ（AB）=（λA）B=A（λB）；
• 单位矩阵满足： AE=EA=A；
• 零矩阵满足： 0m×nAs×n=0m×n ， As×n0n×t=0s×t ；

矩阵转置：

把矩阵A的行换成同序数的列得到的矩阵，叫做A的转置矩阵，记作 AT

A2×3=(142536),AT=⎛⎝⎜123456⎞⎠⎟3×2

• (AT)T=A
• (A+B)T=AT+BT
• (λA)T=λAT
• (AB)T=BTAT

方阵的幂运算：

An×Am=An+m
(An)m=Anm
A0=E(单位矩阵)