《编程之美》数组分割问题——个人想法和证明

最近一直看编程之美，想法真的很重要，今天发这篇文章还是有一点不自信，希望碰到志同道合的同学一起讨论下！

 

本文来自：http://blog.csdn.net/lengzijian/article/details/7842551

 

题目：

有一个无序、元素个数为2n的正整数数组，要求：如何能吧这个数组分割为元素个数为n的两个数组，并使两个子数组的和最近？

例如有如下数组如图：

 

第一行：源数组

第二行：目的数组

书中讲了很多方法，这里就不在赘述了，我的方法也很简单，相信很多人也想到了，但是没有办法证明这个方法的可靠性。今天我们主要讲下，该方法的可靠性。

 

先来说下方法：

1.    首先对无序数组进行排序(时间复杂度nlogn)

2.    从当前源数组中取最大的元素，放置到一个和最小的目的数组中(起初都为0,故可以随意放置)，同时这个最大元组从源数组中删除。

3.    重复第2步，直到源数组个数为0

 

按照如上方法：上题的到的结果为：

 

左边和为43，右边为44。符合题意。

 

很多人第一感觉就是，①题目不会这么简单，②这种解法可能会有漏洞，下面对该种解法，做一下个人的理解。

 

1.    我把这种问题看作是往天平上放筹码，放到最后的要求是天平两端的差异最小；

2.    先把要放的筹码都排好序；

3.    先放置最大筹码到天平的任意一段(起初天平是平衡的)；

4.    放置第二块筹码到天平筹码重量轻的一段；

5.    放置第三块筹码到天平筹码轻的一段(一定是和第二块一起)。这时，有两种可能：①：天平没有动，此时应按照规则继续放下一块；②天平平衡有变化(包括两边平衡和逆变化)，我们可以确定的是，此时此刻天平两边的筹码重量差一定小于等于刚刚放上的筹码(目前天平上最轻的筹码)

6.    按照上面的方法，放到最后一块后，如果天平平衡是有变化的，我们可以保证天平量变的差值永远小于等于所有筹码最小的一个。当没有变化是，也可以保证我们的结果是正确的(自己考虑下)

 

目前我能想到的只有这些，根据上面的规则时间复杂度应该为nlogn(排序)+n = O(nlogn)

 

如果本人哪里说得不对，可以留言，也希望能够遇到一些朋友一起讨论下这方面的问题。