《机器学习》 梯度下降

参照《机器学习》这本书的第4.4.3节。

一.解决目标及情景假设:

当给定一些数据，输入x向量已知，输出y也已知，设计一个线性函数y=h（x）去拟合这些数据。

既然是线性函数，在此不妨设为h（x）=w0*x0+w1*x1。

此时我们遇到的问题就是如何确定w0和w1这两个参数，即w=（w0，w1）这个向量。

既然是拟合，则拟合效果可以用误差函数：E（w）=∑ [ h（x）- y ] ^2 / 2 来衡量。

其中w是权重二维向量，x是输入二维向量，x和y都是训练集的数据，即已知。

至于后面除于2只是为了之后的推导过程中对E求导时候可以消除系数，暂时可以不管。

因为我们解决的目标是找出一个向量w=（w0，w1）使得E(w)值最小，即误差最小。

其实这个问题本质上也是搜索最优解的问题，如果用暴力搜索的话，随机取每个可能的值去让机器每天每夜地跑，显然这是不可能的。
所以此时有一种搜索策略：梯度下降。

二. 梯度下降方法：

梯度其实就是高数求导方法，对E这个公式针对每个维数（w0，w1）求偏导后的向量▽E(w)=（∂E/∂w0,∂E/∂w1）

梯度为最陡峭上升的方向，对应的梯度下降的训练法则为：

w=w-η▽E(w)

这里的η代表学习速率，决定梯度下降搜索中的步长 。

上式的w是向量，即可用将该式写成分量形式为:wi=wi-η*∂E/∂wi

现在关键就使计算∂E/∂wi：

推导过程很简单，书上写的很详细，这里只记录结论:

∂E/∂wi=∑（h(x)-y）*(xi)

这里的∑是对样本空间，即训练集进行一次遍历，耗费时间较大，可以使用梯度下降的随机近似：

随机梯度下降策略来改进时间。

三.随机梯度下降的随机近似：

既然是随机近似，则顾名思义，肯定是用近似方法来改善梯度下降时候的时间复杂度问题。

正如上所说，在∂E/∂wi=∑（h(x)-y）*(xi) 的时候∑耗费了大量的时间，特别是在训练集庞大的时候。

所以肯定有人会猜想，如果把求和去掉如何，即变为∂E/∂wi=（h(x)-y）*(xi)。

幸运的是，猜想成立了。

只是要注意一下标准的梯度下降和随机梯度下降的区别：

1.标准下降时在权值更新前汇总所有样例得到的标准梯度，随机下降则是通过考察每次训练实例来更新。

2.对于步长 η的取值，标准梯度下降的η比随机梯度下降的大。

因为标准梯度下降的是使用准确的梯度，理直气壮地走，随机梯度下降使用的是近似的梯度，就得小心翼翼地走，怕一不小心误入歧途南辕北辙了。

3.当E（w）有多个局部极小值时，随机梯度反而更可能避免进入局部极小值中。

四.代码及实例：

直接照着别人博客代码敲的一遍：http://blog.csdn.net/pennyliang/article/details/6998517

/*
 * 随机梯度下降实验：
 * 训练集输入为矩阵：
 * 1,4
 * 2,5
 * 5,1
 * 4,2
 * 输出结果为：
 * 19
 * 26
 * 19
 * 20
 * 需要参数为theta：
 * ？
 * ？
 *
 * 目标函数:y=theta0*x0+theta1*x1;
 *
 *
 * */
#include<stdio.h>
int main()
{
    double matrix[4][2]={{1,4},{2,5},{5,1},{4,2}};
    double result[4]={19,26,19,20};
    double theta[2]={0,0};//初始为零向量
    double loss=10.0;
    for(int i=0;i<100&&loss>0.001;i++)
    {
        double error_sum=0;
        int j=i%4;
        {
            double h=0;
            for(int k=0;k<2;k++)
            {
                h+=matrix[j][k]*theta[k];
            }
            error_sum=result[j]-h;
             for(int k=0;k<2;k++)
             {
                 theta[k]+=0.01*(error_sum)*matrix[j][k];//这里是关键
             }
         }
         printf("%lf,%lf\n",theta[0],theta[1]);
         double loss=0;
         for(int j=0;j<4;j++)
         {
             double sum=0;
             for(int k=0;k<2;k++)
             {
                 sum+=matrix[j][k]*theta[k];
             }
             loss+=(sum-result[j])*(sum-result[j]);
         }
         printf("%lf\n",loss);
     }


     return 0;
 }

结果可以得出c0=3，c1=4。