一般筛法求素数+快速线性筛法求素数

TAG 素数  数论

素数总是一个比较常涉及到的内容，掌握求素数的方法是一项基本功。

基本原则就是题目如果只需要判断少量数字是否为素数，直接枚举因子2 。。N^(0.5) ，看看能否整除N。

如果需要判断的次数较多，则先用下面介绍的办法预处理。

 一般的线性筛法

首先先介绍一般的线性筛法求素数

 void make_prime()  {
     memset(prime, 1, sizeof(prime));
     prime[0]=false;
     prime[1]=false;
     int N=31700;
     for (int i=2;  i<N;  i++)
       if (prime[i]) {
         primes[++cnt ]=i;
         for (int k=i*i; k<N; k+=i)
             prime[k]=false;
       }
     return;
 }

这种方法比较好理解，初始时，假设全部都是素数，当找到一个素数时，显然这个素数乘上另外一个数之后都是合数(注意上面的 i*i ,  比 i*2 要快点 )，把这些合数都筛掉，即算法名字的由来。

但仔细分析能发现，这种方法会造成重复筛除合数，影响效率。比如10，在i=2的时候，k=2*15筛了一次；在i=5，k=5*6 的时候又筛了一次。所以，也就有了快速线性筛法。

 

快速线性筛法

快速线性筛法没有冗余，不会重复筛除一个数，所以“几乎”是线性的，虽然从代码上分析，时间复杂度并不是O(n)。先上代码

 #include<iostream>
 using namespace std;
 const long N = 200000;
 long prime[N] = {0},num_prime = 0;
 int isNotPrime[N] = {1, 1};
 int main()
 {
         for(long i = 2 ; i < N ; i ++)
         {
         if(! isNotPrime[i])
             prime[num_prime ++]=i;
         //关键处1
         for(long j = 0 ; j < num_prime && i * prime[j] <  N ; j ++)
             {
                 isNotPrime[i * prime[j]] = 1;
             if( !(i % prime[j] ) )  //关键处2
                 break;
         }
     }
     return 0;
 }

首先，先明确一个条件，任何合数都能表示成一系列素数的积。

 

不管 i 是否是素数，都会执行到“关键处1”，

①如果 i 都是是素数的话，那简单，一个大的素数 i 乘以不大于 i 的素数，这样筛除的数跟之前的是不会重复的。筛出的数都是 N=p1*p2的形式, p1，p2之间不相等

 

②如果 i 是合数，此时 i 可以表示成递增素数相乘 i=p1*p2*...*pn, pi都是素数（2<=i<=n），  pi<=pj  ( i<=j )

p1是最小的系数。

根据“关键处2”的定义，当p1==prime[j] 的时候，筛除就终止了，也就是说，只能筛出不大于p1的质数*i。

 

我们可以直观地举个例子。i=2*3*5

此时能筛除 2*i ,不能筛除 3*i

如果能筛除3*i 的话，当 i' 等于 i'=3*3*5 时，筛除2*i' 就和前面重复了。

 

需要证明的东西：

1. 一个数会不会被重复筛除。
2. 合数肯定会被干掉。

根据上面红字的条件，现在分析一个数会不会被重复筛除。

设这个数为 x=p1*p2*...*pn, pi都是素数（1<=i<=n)  ,  pi<=pj ( i<=j ) 

当 i = 2 时，就是上面①的情况，

当 i >2 时， 就是上面②的情况， 对于 i ，第一个能满足筛除 x 的数  y 必然为 y=p2*p3...*pn（p2可以与p1相等或不等），而且满足条件的 y 有且只有一个。所以不会重复删除。

证明合数肯定会被干掉？ 用归纳法吧。

 类比一个模型，比如说我们要找出 n 中2个不同的数的所有组合 { i , j } ，1<=i<=n, 1<=j<=n,

我们会这么写

for (i=1; i<n; ++i )

  for (j=i+1; j<=n; ++j)

   {

    /////

   }

我们取 j=i+1 便能保证组合不会重复。快速筛法大概也是这个道理，不过这里比较难理解，没那么直观。

 

1楼提供的方法，我整理下

//偶数显然不行，所以先去掉偶数。可以看作上面第一种的优化吧。

//不过这种方法不太直观，不太好理解。

 

 我推荐这个算法！ 易于理解。 只算奇数部分，时空效率都还不错！
 half=SIZE/2;
 int sn = (int) sqrt(SIZE);
 for (i = 0; i < half; i++)
    p[i] = true;// 初始化全部奇数为素数。p[0]对应3，即p[i]对应2*i+3
 for (i = 0; i < sn; i++) {
 if(p[i])//如果 i+i+3 是素数
 {
     for(k=i+i+3, j=k*i+k+i; j < half; j+=k)
     // 筛法起点是 p[i]所对应素数的平方 k^2
     // k^2在 p 中的位置是 k*i+k+i
     //    下标 i         k*i+k+i
     //对应数值 k=i+i+3   k^2
        p[j]=false;
 }
 }
 //素数都存放在 p 数组中，p[i]=true代表 i+i+2 是素数。
 //举例，3是素数，按3*3,3*5,3*7...的次序筛选，因为只保存奇数，所以不用删3*4，3*6....

扩展阅读

1. 打印质数的各种算法 http://coolshell.cn/articles/3738.html  里面有个用C++模板实现的，纯属开阔眼界，不怎么实用。
2. 检查素数的正则表达式  http://coolshell.cn/articles/2704.html  数字n用  1111。。1 （n个1）表示，纯属坑爹。