sicp习题2.33-2.39尝试解答

这一节的内容非常有趣，通过将序列作为interface，在此基础上进而提取出各种高阶操作（map,filter,accumulate,enumerate等），由此引出模块化设计的讨论。模块化设计带来复杂性的降低，同时可能引入性能上的损失，比如书中对sum-odd-squares过程的两种写法，原来的写法枚举列表元素的过程散落在累积、过滤、映射的过程中，主要一次循环就够了，而通过三个高阶过程来操作反而需要3次的遍历。

习题2.33，将map,append,length基本过程用累积操作重新定义，联系以往的实现通过观察和测试可以得出：

(define (map p sequence)
  (accumulate  ( lambda (x y) 
                (cons (p x) y))       
                       () sequence))
(define (append seq1 seq2)
  (accumulate cons seq2 seq1))
(define (length sequence)
  (accumulate ( lambda (x y)
                ( +   1  y))
                0 sequence))

难点就在于累积的操作。

习题2.34，Horner规则求多项式，难点也是累积操作的定义：

(define (horner - eval x coefficient - sequence)
  (accumulate ( lambda (this - coeff higher - terms)
                ( +  this - coeff ( *  x higher - terms)))
              0 coefficient - sequence))

只要记住lambda中的y其实是另一个递归的accumulate就比较容易完成了。
测试下:

>  (horner - eval  2  (list  1   3  0  5  0  1 ))
  79

习题2.35，利用map和accumulate重新定义count-leaves统计树的节点数目：

(define (count - leaves t)
  (accumulate  +  0 (map ( lambda  (x) ( if  (pair? x) (count - leaves x)  1 )) t)))

map过程的参数op是过程
(lambda (x) (if (pair? x) (count-leaves x) 1))
当x是列表，递归调用count-leaves，否则返回个数1

习题2.36，列表的列表，因此map过程的第一个参数是一个过程作用于列表中的每个列表，当然是采用car将它们首项取出然后进行op操作，因此：

(define (accumulate - n op init seqs)
  ( if  (null? (car seqs))
      ()
      (cons (accumulate op init (map car seqs))
            (accumulate - n op init (map cdr seqs)))))

习题2.37，list作为Lisp的基本结构可以演化出各式各样的复杂结构，比如此题就将列表作为矢量，矢量通过组合成为矩阵，3个解答就是矩阵的运算：

(define (dot - product v w)
  (accumulate  +  0 (map  *  v w)))
(define (matrix -*- vector m v)
  (map ( lambda  (x) (dot - product x v)) m))
(define (transpose mat)
  (accumulate - n cons () mat))
(define (matrix -*- matrix m n)
  (let ((cols (transpose n)))
    (map ( lambda  (x) (matrix -*- vector cols x)) m)))

知道矩阵运算的定义得出结果并不困难。

习题2.38，计算下结果：

>  (fold - right  /   1  (list  1   2   3 ))
1   1 / 2
;也就是3 / 2

>  (fold - left  /   1  (list  1   2   3 ))
1 / 6
>  (fold - right list () (list  1   2   3 ))
( 1  ( 2  ( 3  ())))
>  (fold - left list () (list  1   2   3 ))
(((()  1 )  2 )  3 )

如果想使这两个过程的结果相同，op需要满足交换率和结合率的条件。

习题2.39:

; 2.39
(define (reverse - list sequence)
  (fold - right ( lambda (x y)(append y (list x))) () sequence))
(define (reverse - list2 sequence)
  (fold - left ( lambda (x y) (cons y x)) () sequence))