先引入一个问题:
有 n 个城市,有些城市之间有一条单向的道路,现在,给了起始点和终止点,要求我们从起始点走到终止点,并且要求,走的是所有路径的长度中第 k 短的
这道题要是当 k=1 的时候是最短路问题,当 k=2 的时候是次短路问题
怎么解决第 k 短路问题呢?
我们可以用一个 A* 搜索来做:
定义估价函数 : f = g + h
g : 起始点到当前点的距离(可以直接由 DFS 得到)
h : 当前点到终点的最短距离
这样,我们就把第 k 短路问题和最短路问题联系起来了:用最短路问题求估价函数中的 h
对于无向图,我们只需对原图做一次在 终点 的 dijstra ,就可以得到所有点到终点的最短距离
对于有向图,我们可以吧原图反向建边,得到一个新图,再在新图中对 终点 做一次 dijstra ,这样就可以求出各点到终点的最短距离
估价函数都解决了,下面就是如何确定这是第 k 短路的问题了
终点第一次出队列的时候,我们是不是就求出了起点到终点的最短路了?第二次出队的时候,我们是不是就求出起点到终点的次短路了?第 k 次出队的时候我们就求出起点到终点的第 k 短路了
好了,下面来一个模板,有什么没有明白的可以看看下面的模板;这是 POJ 2449 的一份AC代码
/* 第 k 短路的 A* 搜索算法,估价函数 f = g + h 其中 : g = 起始点 到 当前点 的距离,也即是当前的距离,可以在 BFS 的时候直接求出 h = 当前点 到 终点 的最短距离(这样才满足 A* 的条件) 对于无向图,我们直接对原图跑一遍 dijstra 就可以求出终点到其他各个点的最短距离 对于有向图,我们反向建边一次,在新建的图中跑一遍 dijstra 也可以求出来终点到各个点的最短距离 */ #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> #include <vector> #include <string> #include <queue> #include <stack> #define INT_INF 0x3fffffff #define LL_INF 0x3fffffffffffffff #define EPS 1e-12 #define MOD 1000000007 #define PI 3.141592653579798 #define N 300 using namespace std; typedef long long LL; typedef unsigned long long ULL; typedef double DB; struct data { int st,en,val,next; } edge[100005],e[100005]; int head[1005],h[1005],tot,tot2; bool vs[1005]; int dis[1005]; struct node { int id,len,h; bool operator <(const node &a) const { if(a.len+a.h==len+h) return a.len<len; else return a.len+a.h<len+h; } }; void add_edge(int st,int en,int val) { edge[tot].st=st; edge[tot].en=en; edge[tot].val=val; edge[tot].next=head[st]; head[st]=tot++; } void add_e(int st,int en,int val) { e[tot2].st=st; e[tot2].en=en; e[tot2].val=val; e[tot2].next=h[st]; h[st]=tot2++; } /*对反向边求一次 dijstra ,求得各个点到终点的最短距离,也就是我们 A* 的估价函数中的 h 函数*/ void dijstra(int st,int n) { memset(vs,0,sizeof(vs)); for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=INT_INF; for(int i=h[st];i!=-1;i=e[i].next) { dis[e[i].en]=e[i].val; } dis[st]=0; while(1) { int k=-1 , Min=INT_INF; for(int i=1;i<=n;i++) if(!vs[i] && dis[i]<Min) { k=i; Min=dis[i]; } if(k==-1) break; vs[k]=1; for(int i=h[k];i!=-1;i=e[i].next) if(!vs[e[i].en] && dis[e[i].en]>dis[k]+e[i].val) dis[e[i].en]=dis[k]+e[i].val; } } /*对起点 s 终点 t 求第 k 短路,如果找不到,返回 -1*/ int kth_path(int s,int t,int k) { if(dis[s]==INT_INF) return -1; if(s==t) k++; priority_queue<node> q; node now; now.id=s; now.len=0; now.h=dis[s]; q.push(now); int cnt=0; while(!q.empty()) { node now=q.top(); q.pop(); if(now.id==t) cnt++; if(cnt==k) return now.len; for(int i=head[now.id];i!=-1;i=edge[i].next) { node new_v; new_v.id=edge[i].en; new_v.len=now.len+edge[i].val; new_v.h=dis[edge[i].en]; q.push(new_v); } } return -1; } int main() { int n,m,a,b,t,s,k; scanf("%d%d",&n,&m); //n 个点 m 条边 (边是有向边) memset(head,-1,sizeof(head)); memset(h,-1,sizeof(h)); tot=tot2=0; for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d%d",&a,&b,&t); add_edge(a,b,t); add_e(b,a,t); } scanf("%d%d%d",&s,&t,&k); //读入起点 s 终点 t 以及要求的第 k 短路中的 k dijstra(t,n); int ans=kth_path(s,t,k); printf("%d\n",ans); return 0; }