集合代数

主要内容

1. 集合，相等，（真）包含，子集，空集，全集，幂集
2. 交，并，（相对和绝对）补，对称差，广义交，广义并
3. 文氏图，有穷集计数问题
4. 集合恒等式（等幂律，交换律，结合律，分配律，德·摩根律，吸收律，零律，同一律，排中律，矛盾律，余补律，双重否定律，补交转换律等）
   

学习要求

1. 熟练掌握集合的子集、相等、空集、全集、幂集等概念及其符号化表示
2. 熟练掌握集合的交、并、（相对和绝对）补、对称差、广义交、广义并的定义及其性质
3. 掌握集合的文氏图的画法及利用文氏图解决有限集的计数问题的方法
4. 牢记基本的集合恒等式（等幂律、交换律、结合律、分配律、德·摩根律、收律、零律、同一律、排中律、矛盾律、余补律、双重否定律、补交转换律）
5. 准确地用逻辑演算或利用已知的集合恒等式或包含式证明新的等式或包含式

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集合的基本概念

集合的表示

集合是不能精确定义的基本概念。直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员。例如：
　　方程x²－1＝0的实数解集合；
　　26个英文字母的集合；
　　坐标平面上所有点的集合；
　　……
　　集合通常用大写的英文字母来标记，例如自然数集合N(在离散数学中认为0也是自然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。
　　表示一个集合的方法有两种：列元素法和谓词表示法，前一种方法是列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来。例如
　　　　　　　　　　A={a，b，c，…，z}
　　　　　　　　　　Z={0，±1，±2，…}
都是合法的表示。谓词表示法是用谓词来概括集合中元素的属性，例如集合
　　　　　　　　　　B＝{x|x∈R∧x²－1＝0}
表示方程x²－1＝0的实数解集。许多集合可以用两种方法来表示，如B也可以写成{-1，1}。但是有些集合不可以用列元素法表示，如实数集合。

集合之间的关系

下面考虑在同一层次上的两个集合之间的关系。

定义6.1 设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包含B，记作BA。
　　如果B不被A包含，则记作BA。
　　包含的符号化表示为
　　　　　　BAx(x∈B→x∈A)
　　例如NZQRC，但ZN。
　　显然对任何集合A都有AA。
　　隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系，对于某些集合可以同时成立这两种关系。例如
　　　　　　A＝{a，{a}}和{a}
既有{a}∈A，又有{a}A。前者把它们看成是不同层次上的两个集合，后者把它们看成是同一层次上的两个集合，都是正确的。

集合的运算

集合的基本运算

集合的基本运算有并，交，相对补和对称差。
定义6.7 设A，B为集合，A与B的并集A∪B，交集A∩B，B对A的相对补集A－B分别定义如下：
　　　　　　A∪B＝{x|x∈A∨x∈B }
　　　　　　A∩B＝{x|x∈A∧x∈B }
　　　　　　A－B＝{x|x∈A∧xB }
　　由定义可以看出，A∪B是由A或B中的元素构成，A∩B由A和B中的公共元素构成，A－B由属于A但不属于B的元素构成。例如
　　　　　　A＝{a，b，c}，B＝{a}，C＝{b，d}

则有
　　　　　　A∪B＝{a，b，c}，A∩B＝{a}，A－B＝{b，c}，
　　　　　　B－A＝，B∩C＝
　　如果两个集合的交集为，则称这两个集合是不相交的。例如B和C是不相交的。
　　两个集合的并和交运算可以推广成n个集合的并和交：
　　　　　　A₁∪A₂∪…∪A_n＝{x|x∈A₁∨x∈A₂∨…∨x∈A_n}
　　　　　　A₁∩A₂∩…∩A_n＝{x|x∈A₁∧x∈A₂∧…∧x∈A_n}
　　上述的并和交可以推广成n个集合的并和交：
　　　　　　＝A₁∪A₂∪…∪A_n
　　　　　　＝A₁∩A₂∩…∩A_n
　　并和交运算还可以推广到无穷多个集合的情况：
　　　　　　＝A₁∪A₂∪…
　　　　　　＝A₁∩A₂∩…

有穷计数集

使用文氏图可以很方便地解决有穷集的计数问题。首先根据已知条件把对应的文氏图画出来。一般地说，每一条性质决定一个集合。有多少条性质，就有多少个集合。如果没有特殊说明，任何两个集合都画成相交的，然后将已知集合的元素数填入表示该集合的区域内。通常从n个集合的交集填起，根据计算的结果将数字逐步填入所有的空白区域。如果交集的数字是未知的，可以设为x。根据题目中的条件，列出一次方程或方程组，就可以求得所需要的结果。

例6.2 对24名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查。其统计结果如下：会英、日、德和法语的人分别为13，5，10和9人，其中同时会英语和日语的有2人，会英、德和法语中任两种语言的都是4人。已知会日语的人既不懂法语也不懂德语，分别求只会一种语言(英、德、法、日)的人数和会三种语言的人数。
　　解 令A，B，C，D分别表示会英、法、德、日语的人的集合。根据题意画出文氏图如图6.3所示。设同时会三种语言的有x人，只会英、法或德语一种语言的分别为y₁，y₂和y₃人。将x和y₁，y₂，y₃填入图中相应的区域，然后依次填入其它区域的人数。

　　根据已知条件列出方程组如下：

　　　　
　　解得x＝1，y₁＝4，y₂＝2，y₃＝3。

广义交和广义并

以上定义的并和交运算称为初级并和初级交。下面考虑推广的并和交运算，即广义并和广义交。
定义6.10 设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A的广义并，记为∪A。符号化表示为
　　　　　　∪A＝{x|z(z∈A∧x∈z)}。
  例6.4 设　 A＝{{a,b,c},{a,c,d},{a,e,f}},B＝{{a}},C＝{a,{c,d}} 则
　　　　　　∪A＝{a,b,c,d,e,f}
　　　　　　∪B＝{a}
　　　　　　∪C＝a∪{c,d}
　　　　　　∪＝
　　根据广义并定义不难证明，若A＝{ A₁,A₂,…,A_n}，则∪A＝A₁∪A₂∪…∪A_n。
　　类似地可以定义集合的广义交。
定义6.11 设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构成的集合称为A的广义交，记为∩A。符号化表示为
　　　　　　∩A＝{x|z(z∈A→x∈z)}
　　考虑例6.4中的集合，有
　　　　　　∩A＝{a}，∩B＝{a}，∩C＝a∩{c，d}
　　细心的读者一定会注意到在定义6.11中特别强调了A是非空集合。对于空集可以进行广义并，即∪＝。但空集不可以进行广义交，因为∩不是集合，在集合论中是没有意义的。
　　和广义并类似，若A＝{A₁,A₂,…,A_n}，则∩A＝A₁∩A₂∩…∩A_n。
　　在后面的叙述中，若只说并或交，则这都是指集合的初级并或初级交；如果在并或交前边冠以“广义”两个字，则指集合的广义并或广义交。

集合恒等式

基本集合恒等式

下面的恒等式给出了集合运算的主要算律，其中A，B，C代表任意集合。

• 幂等律 　　
• A∪A＝A　　　　　　　　　　　　　　　(6.1)
• A∩A＝A　　　　　　　　　　　　　　　(6.2)
• 结合律 　　
• (A∪B)∪C＝A∪(B∪C)　　　　　  　　     　(6.3)
• (A∩B)∩C＝A∩(B∩C)　　　　　       　　　(6.4)
• 交换律 　　
• A∪B＝B∪A　　　　　　　   　　　　　  　(6.5)
• A∩B＝B∩A　　　　　　　     　　　　　　(6.6)
• 分配律 　　
• A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)　      　　  　　  (6.7)
• A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)　　         　　　 (6.8)
• 同一律 　　
• A∪＝A　　　　　　  　　　　　　　 　(6.9)
• A∩E＝A　　　　　　　　   　　　　　　　(6.10)
• 零律 　　　
• A∪E＝E　　　　　　　　　　　 　　　 　(6.11)
• A∩＝　　　　　　　　　  　　　　 (6.12)
• 排中律 　　
• A∪～A＝E　　　　　　　　　　　　　  　(6.13)
• 矛盾律 　　
• A∩～A＝　　　　　　　　　　　　   　(6.14)
• 吸收律　　
  
• A∪(A∩B)＝A　　　　　　　　　　　　 (6.15)
• A∩(A∪B)＝A　　　　　　　　　　　　  (6.16)
• 德摩根律　 
• A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C)　　　　　　  (6.17)
• A－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C)　　　　　　  (6.18)
• ～(B∪C)=～B∩～C　　　　　　　　　　  (6.19)
• ～(B∩C)=～B∪～C　　　　　　　　　　  (6.20)
• ～＝E　　　　　　　　　　　　　　　(6.21)
• ～E＝　　　　　　　　　　　　　　　(6.22)
• 双重否定律
  
•  ～(～A)＝A　　　　　　　　　　　 　　 (6.23)

证明技巧

证明技巧一
　　除了以上算律以外，还有一些关于集合运算性质的重要结果。 例如：
　　　　A∩BA，A∩BB　　　　　　　(6.24)
　　　　AA∪B，BA∪B　　　　　　　(6.25)
　　　　A－BA　　　　　　　　　　　　(6.26)
　　　　A－B＝A∩～B 　　　　　　　　　(6.27)
我们只选证其中的一部分。
例6.9 证明等式6.27，即A－B＝A∩～B。
　　证　对于任意的x，
　　　　x∈A－Bx∈A∧xB
　　 　　　　　x∈A∧x∈～B
　　　 　　　　x∈A∩～B
所以A－B＝A∩～B。
　　等式6.27把相对补运算转换成交运算，这在证明有关相对补的恒等式中是很有用的。
例6.10 证明(A－B)∪B＝A∪B
　　证
　　　　　　　　(A－B)∪B
　　　　　　　＝(A∩～B)∪B
　　　　　　　＝(A∪B)∩(～B∪B)
　　　　　　　＝(A∪B)∩E
　　　　　　　＝A∪B

习题

1.选择适当的谓词表示下列集合：
　(1)小于5的非负整数
　(2)奇整数集合
　(3)10的整倍数的集合
2.用列元素法表示下列集合：
　(1)S₁＝{x|x是十进制的数字}
　(2)S₂＝{x|x＝2∨x＝5}
　(3)S₃＝{x|x＝x∈Z∧3<x<12}
　(4)S₄＝{x|x∈R∧x²－1＝0∧x>3}
　(5)S₅＝{<x，y>|x，y∈Z∧0≤x≤2∧-1≤y≤0}
3.设F表示一年级大学生的集合，S表示二年级大学生的集合，M表示数学专业学生的集合，R表示计算机专业学生的集合，T表示听离散数学课学生的集合，G表示星期一晚上参加音乐会的学生的集合，H表示星期一晚上很迟才睡觉的学生的集合。问下列各句子所对应的集合表达式分别是什么？请从备选的答案中挑出来。

　(1)所有计算机专业二年级的学生在学离散数学课。
　(2)这些且只有这些学离散数学课的学生或者星期一晚上去听音乐会的学生在星期一晚上很迟才睡觉。
　(3)听离散数学课的学生都没参加星期一晚上的音乐会。
　(4)这个音乐会只有大学一、二年级的学生参加。
　(5)除去数学专业和计算机专业以外的二年级学生都去参加了音乐会。
　备选答案：
　①TG∪H ②G∪HT ③S∩RT
　④H＝G∪T ⑤T∩G＝ ⑥F∪SG
　⑦GF∪S ⑧S-(R∪M)G ⑨GS-(R∩M)
4.确定下列命题是否为真：
　(1)
　(2)∈
　(3){}
　(4)∈{}
　(5){a，b}{a，b，c，{a，b，c}}
　(6){a，b}∈{a，b，c，{a，b }}
　(7){a，b}{a，b，{{a，b}}}
　(8){a，b}∈{a，b，{{a，b}}}

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