[置顶] 用分数形式精确表达有理数和循环无理数

已迁往:http://www.iteblog.com/archives/63

学过计算机编程的就知道，在计算机中，浮点数是不可能用浮点数精确的表达的，如果你需要精确的表达这个小数，我们最好是用分数的形式来表示，而且有限小数或无限小数都是可以转化为分数的形式。比如下面的几个小数：

0.3333(3)  = 1/3的(其中括号中的数字是表示循环节)

0.3 = 3 / 10

0.25 = 1 / 4

0. 285714(285714) = 2 / 7

为了简化编程，在这里，我们假定输入的数据都是以0.开始的，没有负数。

（1）、对于有限小数的情况很好分析，我们只要得到小数的位数n，然后用这个小数除以10^n就能得到

比如小数形式为0.a1a2a3a4...an = a1a2a3a4....an  / 10^n然后化简为最简分式就能得到。

（2）、对于无限小数，情况要复杂许多，假定无限小数为  0.a1a2....an(b1b2....bm)，我们做如下转换有

X = 0.a1a2....an(b1b2....bm)

X * 10^n=a1a2....an + 0. b1b2....bm

设Y = 0. b1b2....bm有

10^m * Y = b1b2....bm + 0.b1b2....bm

=b1b2....bm + Y

所以Y = b1b2....bm / (10^m - 1)带入上面得到

X = (a1a2....an + Y) / 10^n  = ((a1a2....an) * (10^m - 1) + (b1b2....bm)) / ((10^m - 1) * 10^n)

由此我们可以得到无限小数的精确表达式，下面就是代码实现：

#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

unsigned long long GCD(unsigned long long a, unsigned long long b);
/**
*    author: w397090770
*    Date: 2012.08.31
*    Email:[email protected]
*    仅用于学习交流，转载请注明这些标识。
**/
void floatPrecisionExpress(string numberStr){
	//寻找 (  
	string::size_type start = 0;
	//寻找 ) 
	string::size_type end = 0;
	//标记是否找到 ( 符号 
	bool isFind = false;
	//记录字符串的长度 
	int len = 0;
	int m = 0, n = 0;
	//分子，分母 
	unsigned long long molecular = 0, denominator = 1;
	int i = 0;
	
	//
	unsigned long long gcd = 1;
	start = numberStr.find('(', 0);
	end =  numberStr.find(')', 0);
	
	//只有找到 ( 和 ) 才是对的，要么都不找到，找到一个地情况下是错误的，直接返回
	//当然我这里假设了用户输入的是0.XXXX格式的字符串，也就是一定是以0.开头的，
	//不考虑以别的开始的 
	if(start == string::npos && end == string::npos){
		isFind = false; 
	}else if(start != string::npos && end != string::npos){
		isFind = true; 
	}else{
		cerr << "Input Error!" << endl;
		return;
	}
	
	//有限小数 
	if(!isFind) {
 		len =  numberStr.length();
 		n = len - 2;	//2是除去 0.
 		
 		//计算分子 
 		for(i = 2; i < len; i++){
		 	molecular = molecular * 10 +  numberStr[i] - '0';
 		}
 		//cout << molecular << endl;
 		
 		//计算分母 
 		for(i = 0; i < n; i++){
		 	denominator *= 10;
 		}
 		//cout << molecular << "\n" << denominator << endl;
		//将分子、分母化简为最简式,得到两数的最大公约数 
	 	gcd= GCD(molecular, denominator);
	 	cout << "浮点数" <<  numberStr << "的分数精确表示为: " << molecular / gcd << "/" << denominator / gcd << endl;	 
	}else{
		n = start - 2;	//2是除去 0.
		m = end - start - 1;
		//cout << n << "\t" << m << endl;
		unsigned long long temp1 = 0, temp2 = 0, temp3 = 1, temp4 = 1;
		for(i = 2; i < start; i++){
			temp1 = temp1 * 10 + numberStr[i] - '0';
		}
		
		for(i = start + 1; i < end; i++){
			temp2 = temp2 * 10 + numberStr[i] - '0';
		}
		
		//cout << temp1 << "\t" << temp2 << endl;
		for(i = 0; i < n; i++){
		 	temp3 *= 10;
 		}
 		
 		for(i = 0; i < m; i++){
		 	temp4 *= 10;
 		}
 		
 		//cout << temp1 << "\t" << temp2 << "\t" << temp3 << "\t" << temp4 << endl;
 		molecular = temp1 * (temp4 - 1) + temp2;
 		denominator = (temp4 - 1) * temp3;
 		gcd= GCD(molecular, denominator);
 		//cout << gcd << endl;
	 	cout << "浮点数" <<  numberStr << "的分数精确表示为: " << molecular / gcd << "/" << denominator / gcd << endl;
 		
	} 
}

unsigned long long GCD(unsigned long long a, unsigned long long b){
	if(a < b){
		return GCD(b, a);
	}
	
	if(b == 0){
		return a;
	}else{
		if(a & 0x1){	//奇数 
			if(b & 0x1){
				return GCD(b, a - b); 
			}else{
				return GCD(a, b >> 1);
			}
		} else{
			if(b & 0x1){
				return GCD(a >> 1, b);
			}else{
				return GCD(a >> 1, b >> 1) << 1;
			}
		}
	}
}

int main(){
	floatPrecisionExpress("0.285714(285714)");
	floatPrecisionExpress("0.33(3)");
	floatPrecisionExpress("0.25");
	floatPrecisionExpress("0.30");
	floatPrecisionExpress("0.3(000)");
	floatPrecisionExpress("0.3333(3333)");
	return 0;
}

程序运行结果：