带权中位数问题：
带权中位数问题：
1.带权中位数
我国蒙古大草原上有N（N是不大于100的自然数）个牧民定居点P1（X1，Y1）、P2（X2，Y2）、 …Pn（Xn，Yn），相应地有关权重为Wi，现在要求你在大草原上找一点P（Xp，Yp），使P点到任 一点Pi的距离Di与Wi之积之和为最小。
即求 D=W1*D1+W2*D2+…+Wi*Di+…+Wn*Dn 有最小值
结论：对x与y两个方向分别求解带权中位数，转化为一维。
设最佳点p为点k，则点k满足：
令W为点k到其余各点的带权距离之和，则
sigema( i=1 to k-1) Wi*Di < = W/2
sigema( i=k+1 to n) Wi*Di < = W/2
同时满足上述两式的点k即为带权中位数。
我国蒙古大草原上有N（N是不大于100的自然数）个牧民定居点P1（X1，Y1）、P2（X2，Y2）、 …Pn（Xn，Yn），相应地有关权重为Wi，现在要求你在大草原上找一点P（Xp，Yp），使P点到任 一点Pi的距离Di与Wi之积之和为最小。
即求 D=W1*D1+W2*D2+…+Wi*Di+…+Wn*Dn 有最小值
结论：对x与y两个方向分别求解带权中位数，转化为一维。
设最佳点p为点k，则点k满足：
令W为点k到其余各点的带权距离之和，则
sigema( i=1 to k-1) Wi*Di < = W/2
sigema( i=k+1 to n) Wi*Di < = W/2
同时满足上述两式的点k即为带权中位数。
我们都学过中位数问题，即给定了
N
个数后，位于第
[N/2]
的数就是中位数。所谓带权中位数，就是给定的
N
个数都有一个权值，或者说相当于个数。此时的中位数就不再是第
[N/2]
个数了，而是第
[
∑
D[I]
/2
]
个数。
而在信息学竞赛中，有这样一类题，给出了若干个排列在一条直线上的点，每个点有一个权值，比如说货物量、人数什么的，然后让我们找出使所有点的货物、人集合到一个点的总代价最小的位置。我们将会发现，这一类问题实际上就是带权中位数问题。
{
一些符号的意思：
D[I]
—第
I
个点的权值
DIST
（
I
，
J
）—
I
到
J
点的距离，即
DIST
（
I
，
J
）
=|NUM[I]-NUM[J]|
由定义式易知：
DIST
（
I
，
J
）
=DIST
（
J
，
I
）
}
证明（简）：
若最优点在
T
则有：
∑
{D[I]*DIST(I
，
T)}(I<>T)<=
∑
{D[I]*DIST(I,T+1)}(I<>T+1)
将此式化为：
∑
{D[L]}*DIST(L,T)}+∑
{D[R]*DIST(R,T)}+D[T+1]*DIST(T+1,T)
<=∑
{D[L]}*DIST(L,T+1)}+∑
{D[R]*DIST(R,T+1)}+D[T]*DIST(T,T+1) (L<T&R>T+1)
即：
∑{D[L]*DIST(L,T+1)}-∑{D[L]*DIST(L,T)}(L<T)+D[T]*(DIST(T,T+1))
>=∑{D[R]*DIST(R,T)}-∑(D[R]*DIST(R,T+1))(R>T+1)+D[T+1]*(DIST(T,T+1))
进一步化简为：
∑{D[L]*(DIST(L,T)-DIST[L,T+1])}(L<=T)<=∑{D[R]*(DIST(R,T+1)-DIST(R,T))}(R>=T+1)
∵
DIST(L,T)-DIST(L,T+1)=DIST(T,T+1)
DIST(R,T+1)-DIST(R,T)=DIST(T+1,T)
OBVIOUSLY : DIST(T,T+1)=DIST(T+1,T)
因此：
∑
D[L](L<=T)>=
∑
(D[R])(R>=T+1)
即：∑
D[L](L<T)+D[T]>=
∑
(D[R])(R>T)
因此我们发现，若
T是最优点，则必有其左边的权值和加上
D[T]后大于右边的权值和
而类似的，我们可以证明其右边的权值和加上
D[T]后大于左边的权值和
因此我们要找的点也就是满足以上条件的点。注意到此时我们的选择已经和具体的位置（坐标）没有关系了，而成为主要考虑因素的仅仅是各点上的权值。
因为左边的权值和数+
D[T]>=右边的权值和，那么：
LEFTSUM+D[T]>=
RIGHTSUM=
SUMALL-(LEFTSUM+D[T])
=>2*(LEFTSUM+D[T])>=
SUMALL
=>2*RIGHTSUM<=
SUMALL
同理可得：
RIGHTSUM+D[T]>=
LEFTSUM=
SUMALL-(RIGHTSUM+D[T])
=>2*(RIGHTSUM+D[T])>=
SUMALL
=>2*LEFTSUM<=
SUMALL
此时我们发现：
2*LEFTSUM<=
SUMALL 而
2*(LEFTSUM+D[T])>=
SUMALL
也即是说当前的位置
T上的数包含了第[(
SUMALL)/2]个数，由开篇的简述可知，这第[(
SUMALL)/2]个数，就是这个序列中的带权中位数。所以这一类问题，实质上就是带权中位数问题。
证明的简单说明：
我们可以简单地把上面的证明过程看作是左边的人都集合到了M点，而右边的人都集合到了M+1点。此时形成了两军对垒的形式，如果左边的总人数比右边的多，那么从左边走到右边去就没有从右边走到左边来优，反之亦然。那么既然在当前点我们左边的总人数已经比右边多了，那么再往右边移动，左边的人数会进一步增多，而右边的人会减少，那么只会导致更差的结果，所以此时我们可以判断最优点一定在当前点的左边，或者至少在当前这个点。那么范围就从当前的[L，R]缩小到了[L，M]，通过不断地缩小范围（而每一次缩小我们都砍掉了一半的范围），最后我们得到的将是一个点——那就是我们要求的集合位置。
NOTIFY THAT THE CHOICE OF THE MEETPLACE HAS NOTHING TO DO WITH THE DISTANCES
！！
最优位置的选择与距离无关！！
带权中位数问题常见算法：
1
：朴素算法：
方法：枚举集合点，进行计算
时间复杂度：
O
（
N^2
）
2
：递推算法：
1
．朴素递推：
方法：分别计算对于一个点从左右过来的总代价，求其最小值
时间复杂度：
O
（
N
）
2
．
递推改进算法
方法：利用前面证明的结论和带权中位数的定义，只需要一次扫描即可
时间复杂度：
O
（
N
）
3
：分治算法：
1．
O
（
NlogN
）
的算法
方法：二分集合点，比较集合点为
M
与
M+1
时的谁更优，不断缩小范围
2．
O
（
N
）
的二分改进算法
方法：二分集合点，但利用了已知信息，将时间复杂度降到
O
（
N
）
附录：
证明二分优化后的时间复杂度：
由于是二分，所以共执行了
logN
次
最后一次的次数是
1
，之后依次递增：
即：
2^0+2^1+…..+2^(logN)=2^(logN+1)-1=2*N-1
所以时间复杂度为：
O(N)
{
更新于
2006-10-24
晚
21
：
34
分
UPDATED AT 21
：
34 IN
OCT 24TH
，
2006
}
优化后的二分实现：采用类似二分查找的迭代法
1．
SET
L=1
；
R=N
；
2．
WHILE
(L<=R) DO
3．
M=(L+R)/2;
4．
IF
R=L
5．
THEN BREAK
6．
ELSE
CALC_LEFTSUM&RIGHTSUM
7．
COMPARE
LEFTSUM&RIGHTSUM
8．
IF
LEFTSUM >RIGHTSUM
9．
THEN SET
R=M; SET SUM[R]=SUM[R]+RIGHTSUM
10. ELSE IF LEFTSUM<RIGHTSUM
11. THEN SET L=M+1; SET SUM[L]=SUM[L]+LEFTSUM
12 .ELSE BREAK
13. IF NOT BREAK THEN BACK TO 2
14
SET
MEETPLACE=M
15 CALC THE COST TO GET ALL TOGETHER AT MEETPLACE
即：
1．
设置初始的左右边界
LR
2．
若左右边界
LR
未错位
3．
计算二分点
M
的位置
4．
若左右边界已重合
5．
则此时的二分点
M
就是最优点
6．
否则计算
1~M
的和
LEFTSUM
、
M+1~N
的和
RIGHTSUM
7．
比较
LEFTSUM
和
RIGHTSUM
8．
若
LEFTSUM
大于
RIGHTSUM
9．
则最优点在当前
M
的左边
10．
置左边界为
M+1
，把
LEFTSUM
加到
SUM[L]
上
11．
若
RIGHTSUM
大于
LEFTSUM
12．
则最优点在当前
M
的右边（或在
M
点）
13．
置右边界为
M
，把
RIGHTSUM
加到
SUM[R]
上
14．
否则此时的
M
就是最优点
15．
若没有找到最优点则继续迭代
16．
置集合位置
MEETPLACE
为
M
17．
计算到
MEETPLACE
的代价
{
更新于
2006-10-25 8
：
19
UPDATED AT 8
：
19
，
OCT 25TH
，
2006
}
递推改进算法的实现：
1．
CALC THE SUM OF ALL POINTS
2．
SET
M=1
3．
WHILE
LEFTSUM+SUM[M]<(SUM-ALL DIV 2) DO
4．
SET
LEFTSUM=LEFTSUM+SUM[M] SET M=M+1
5．
SET
MEETPLACE=M
6．
CALC THE COST TO GET ALL TOGETHER TO MEETPLACE
即：
1．
计算总的人数和
2．
从
1
开始计算
3．
若满足左边的总人数
+
当前点的人数
<
总人数的一半
4．
则把当前点的人数累加到
LEFTSUM
中，同时
M
向后移动一位
5．
满足左边的人数和
+
当前点的人数和的点就是我们的最优点
6．
计算到
MEETPLACE
总代价