MATLAB多项式应用

第八章多項式之應用

對於多項式MATLAB也提供許多指令可供運算，相關的指令如下表：

函數名稱	說明
conv(p,q)	兩多項式相乘
[q,r]=deconv (num,den)	兩多項式相除,q為商，r為餘數，num分子，den為分母
roots	求多項式之根
poly(r)	將根轉為多項式.
polyval(p,x)	計算多項式之值，p為多項式之係數矩陣，x為變數值，可為矩陣型式
polyvalm(p,X)	計算多項式之值，p為多項式之係數矩陣，X為變數值，為方矩陣型式
residue	部份展開式之餘數.
polyfit(X,Y,n)	多項式資料回歸，(X,Y)為對應資料，n多項式最高次方
polyder (p)	多項式微分
polyint(p,K)	多項式之積分，Ｋ為常數

多項式中，主要以其係數組成一向量作為運算之基礎。多項式之通式可表示如下：


F(x)=a₁x_n+a₂x_n-1+...+a_n-1x₂+a_nx+a_n+1

其中x 為變數，n為其最高之階，為變數x之次方。而a ₁, a ₂ ,…,a _n , a _n+1等則分別係數，可以利用向量矩陣表示。以上項之通式為例，其向量p為:


p=[a₁, a₂ ,…,a_n , a_n+1]

代表F(x)這個多項式。多項式間之運算則以其p向量為代表。例如，兩多項式之相加，設其向量p=[20 -7 5 10]，另一為q=[1 8 1 -6]，則相加後應為m=[21 1 6 4]，亦即其多項式和為21X³+X²+6X+4。此處若兩向量之大小不同，則較少的前面元素應以零補齊。兩多項式相減時亦同。多項式若乘以一個常數，則直接以常數乘上每項係數或向量中之每個元素即可。但若為兩個非常數之多項數相乘或相除，則必須藉助MATLAB之指令conv或 deconv來運算才行。這兩個指令均有兩項輸入，分別為兩多項式之向量。例如兩多項式之向量分別為p,q：


>>p=[1 5 3 4 1] %代表多項式X^４+5X³+3X²+4X+1
 p = 1 5 3 4 1

>>q=[8 3 -5 6] %代表多項式8X³+3X²-5X+6
 q = 8 3 -5 6

兩者相乘後，設為Ｍ，則Ｍ應為：

多項式乘法conv


>>M=conv(p,q)
 M =
   8 43 34 22 35 1 19 6

此多項式為


8X⁷+43X⁶+34X⁵+22X⁴+35X³+X²+19X+6。

多項式除法deconv

今若將Ｍ除以q，利用deconv函數指令，其結果應為：


>>[s,r]=deconv(M,q)
s =
 1 5 3 4 1
r =
 0 0 0 0 0 0 0 0

此s向量與p向量相同，r則為除後之餘數，目前為零，因為完全除盡。例如：


>>[s,r]=deconv(p,q)
s =
 0.1250 0.5781
r =
 0 0 1.8906 6.1406 -2.4688

此時之商s為0.1250X + 0.5781；其餘項為


1.8906X³+ 6.1406X² -2.4688

上述多項式相乘除之指令conv與deconv並不需要相同的向量長度。即使除法，其前項為分子，後項為分母，分子之長度通常比分母長，但並不必要如加法或減法，需在前面加零元素，以湊成相同的長度。

多項式求值polyval

其次為多項式值之計算可用polyval(p,x)指令計算多項式之值，其中p為多項式之係數向量，x為變數值，可為向量矩陣型式：


>>x=0:5,p=[1 -3 3 6]
x =
0 1 2 3 4 5
p =
1 -3 3 6

>>f=polyval(p,x)
f =
6 7 8 15 34 71

上式中p代表多項式f(x)之向量，其所得值為f(0)、f(1)，…f(5)分別為f向量之元素值。運算時，亦可合併為一個指令執行，只要位置放對就行：


>>f=polyval([1 -3 3 6],[0:5])
 f =
    6 7 8 15 34 71

8.1多項式之根

令一多項式等於零，其x值即為其根。具有n階的多項式，應存在有n個根，但這些根可能為實數，也可能為複數或重根。若根為複數，只要其向量元素為實數，則其複數根常成對存在，或稱為共軛根，其型式為a±bi。

roots

求根的指令為roots(p)，p為多項式之向量矩陣。如：


>>roots([2 -2 -1 0 1])
ans =
   1.0000 + 0.0000i
   1.0000 - 0.0000i
  -0.5000 + 0.5000i
  -0.5000 - 0.5000i

結果得到兩個相同的實根1及-5±0.5i。在多項式中，最簡單的二次式ax²+bx+c=0之根可利用公式得解，其型式如下：

x={(-b ±(b²-4ac) ^(1/2) }/2a

若二次之型式為ax²+2bx+c=0，則其根之型式可改變為：

x={(-b ±(b²-ac) ^(1/2) }/a

設a=5,b=10, 則上式根可以計算如下：


>>a=2;b=10;c=12;
>>x1=(-b+sqrt(b.*b-4*a.*c))/(2*a)
x1 = -2

>>x2=(-b-sqrt(b.*b-4*a.*c))/(2*a)
x2 = -3

若用roots指令求解，則


>>roots([2 10 12])
ans =
 -3.0000
 -2.0000

所得之答案相同。

poly

有根時，也可以利poly(r)指令將其轉回多項式之型式。以前面所得之兩個實根1及虛根 -5±0.5i為例，其對應多項式應為：


>>poly([1, 1, 0.5+0.5i, -0.5-0.5i])
ans =
 1.0000 -1.0000 -0.5000 0 0.5000

其結果若分別乘以2後，應與前例之設定相同。由此可知，用根反求多項式係數時，其結果可能為整數倍數，其比例應一致的。而且，在poly(r)之輸入項r可為行向量或列向量，其結果應相同。

8.2 非線性函數求根法(1)

除多項式之尋根外，有些函數屬於非線性型式，其尋根法自有不同。在matlab中，有fzero、fminbnd及 function_handle可以運用。茲介紹如下：

FZERO 尋找函數根之指令

fzero之語法如下：


　x = fzero(fun,x0)
　x = fzero(fun,x0,options)
　[x,fval,exitflag,output] = fzero(fun,x0,options)

通常要對任一個函數求其等於零之根，有如大海撈針，尤其函數若在零點時存在有許多根時，其所找出之根有時並不符合所望。為此，必須先給附近值或概略區間，使程式能順利找到所要的根。fzero指令之功能就是利用x0為第一個猜測值進行求根。若x0為常數，程式會先找到一個具有正負值區間但包含x0值之根。若設定根之範圍，則可改為矩陣之型式，不過所設定之範圍若其對應函數值無法產生正負符號，程式可能會給一個錯誤的信息。

在輸出參數中，除得到根x之外，其對應之函數值照理為零，但若有差異，亦可利用第二個輸出參數fval。若在設定之範圍內得到NaN或Inf時，表示無解，但也可能以複數為最後的答案。FUN之參數則代表函數名稱，包括自訂函數在內。其名稱之前則需加＠之符號。例如：


>> X = fzero(@sin,3)
X =
    3.1416

>>> x = fzero(@cos,[1 2])
x =
    1.5708

函數也可以使用匿名函數，例如，若有一個匿名函數為　@(x) sin(3*x/5)：


>> X = fzero(@(x) sin(3*x/5),5)
X =
    5.2360

函數也可使用自訂函數，例如下面之自訂函數demofun：


function f=demofun(x)
f = x.^3-100;

>> x=fzero(@demofun,1)
x =
    4.6416

若自訂函數有兩個以上輸入參數，則可採用匿名函數之型式，但只能針對其中一個當變數，其餘需事先設定為常數，例如：



>> x=fzero(@(x) demofun(x),1)
x =
    4.6416

使用匿名函數時，其函數名稱也可使用函數握把，但不必加上＠，例如：


>>f = @(x)x.^3-5*x-6;

>> z=fzero(f,3)
z =
    2.6891

參數options則以optimset函數產生，主要是設定尋根的過程參數，其中包括Display, TolX, FunValCheck及OutputFcn等項目。此外，exitflag輸出參數則是執行結果之代碼，其中：

1	FZERO找到適當值
-1	運算依output函數之設定停止。
-3	在設定之區間，其結果為NaN或Inf。
-4	找到結果為複數型式。
-5	FZERO可能接近單質點（singular point）

8.3多項式分母之展開式

多項式餘式residue

多項式分母若無重根的情況，應可進行因式分解，並求得其係數，此可以利用residue指令求解，其語法如下：


   [r,p,k] = residue(b,a)
   [b,a] = residue(r,p,k)

其中，b與a分別為兩個多項式。其中a為一分式之分母，b該分式之分子，兩者均為向量型式；而[r,p,k]等則為行向量，分別代表展開後之分子、分母及餘數之係數，若能除盡則k項應為零。r與p分別為餘數與極數，其個數應相等，但應比a之個數少一。

當極點(根）均相異的狀況下，值若p中有相同值時，其解的型式必須稍作變化，例如：

b =[ 3 -6 4]; a =[ 1 -5 8 -4];
>> [r,p,k]=residue(b,a)
r = 2
4
1
p = 2
2
1
k = []

其結果應解釋為如下之型式：

b(x)/a(x)=(3x²-6x+4)/(x³-5x²+8x-4)=2/(x-2)+4/(x-2)²+1/(x-1)

RESIDUE這個指令也可以採用逆向方式反求Ａ與Ｂ之多項數，只要將其參數反向即可，如：

[B,A] = RESIDUE(R,P,K)

其中ＲＰＫ之定義如前述，但此時成為輸入項，輸出為Ａ與Ｂ，但應注意其對應位置。下面為上述之反向例：

>> [b,a]=residue([2 4 1],[2 2 1],[])
b = 3 -6 4
a = 1 -5 8 -4

其所得結果與前述相同。

8.4 非線性函數求根法-fminbnd

FMINBND 非線性函數最小值

fminrnd之功能是在特定區間尋找單一變數之函數之最小值。其指令型式如下：


x = fminbnd(fun,x1,x2)
x = fminbnd(fun,x1,x2,options)
[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(...)

上述指令fminbnd之功能在於針對函數fun，在設定的範圍x1<x<x2中找尋其最小值。其值置於左邊之x中，而函數之對應值則置於fval內。其中fun為函數之握把，或函數之名稱。若為函數名稱則須在名稱前加＠符號。


>> X = fminbnd(@sin,3,4)

X =

    3.9999

也可以使用匿名函數：


>> f = @(x)x.^3-2*x-5;
>> [x,f] = fminbnd(f, 0, 2)
x =
    0.8165
f =
   -6.0887

>>  x = fminbnd(@(x) sin(x)+3,2,5)

x =

    4.7124

在指令中之第四參數項options之參數則可利用optimset函數依下列參數進行設定：

Display	顯示之層次：'off'不顯示；'iter'顯示每次回圈之結果； 'final' 只顯示最後結果；'notify' (預設) 若函數不收斂時顯示。
FunValCheck	檢查目的函數是否正確，'on' 目標函數之結果為複數或 NaN時顯出警告；'off' 不顯示警告。
MaxFunEvals	函數容許之最大值。
MaxIter	容許最大迴圈數。
OutputFcn	指出使用者設定之呼叫定義函數。
TolX	x值之容許度。

上述參數之設定可利用optimset函數，例如：


>>  [X,FVAL,EXITFLAG] = fminbnd(@cos,3,4,optimset('TolX',1e-12,'Display','off'))

X =
    3.1416
FVAL =
    -1
EXITFLAG =
     1

輸出之第三參數為運算之狀態，與fzero中之第三參數相同：

1	fminbnd指令依據TolX收斂至x。
0	最大迴圈數。
-1	由 output函數決定終止。
-2	邊界不符合 (x1 > x2)。

輸出之第四項為OUTPUT，其內容如下：

output.algorithm	使用之運算法
output.funcCount	函數計算之次數
output.iterations	迴圈之次數
output.message	離開信息

8.5多項式曲線適配法

多項式曲線適配法可以利用polyfit完成。利用現有之資料組合[x,y]以求最佳之多項式曲線，其語法如下：


  p = polyfit(x,y,n)
  [p,S] = polyfit(x,y,n)
  [p,S,mu] = polyfit(x,y,n)

其中[x, y]為資料組，n為多項式之最高階數，p則是所得多項式之係數向量。Ｓ則為結構矩陣，其下有R、df、normr等欄位，代表ＱＲ之分解結構、自由度及副變量。

範例：

這個例子是利用現有資料適配erf(x)函數，並利用x之多項式表示。這個例子雖然不很適當，因為erf(x)函數有其特定範圍，一般多項式則沒有範圍。故利用資料適配的結果可能不會很理想。

開始時先產生x之向量點，該其均勻分佈於一個區間，然後使用erf(x)函數進行估計：


x = (0: 0.1: 2.5)';
y = erf(x);

設多項式最高階n=6，則


p = polyfit(x,y,6)

得到之結果，多項式係數為：


p =

 0.0084  -0.0983   0.4217   -0.7435  0.1471   1.1064  0.0004

為瞭解所得之多項式與實際值有多接近，可以使用polyval這個求值的函數，同時將其作成表格作比較，最後一項則為誤差：


f = polyval(p,x); 

table = [x y f y-f]
 
 table =

    0          0          0.0004    -0.0004
    0.1000     0.1125     0.1119     0.0006
    0.2000     0.2227     0.2223     0.0004
    0.3000     0.3286     0.3287    -0.0001
    0.4000     0.4284     0.4288    -0.0004
    ...
    2.1000     0.9970     0.9969     0.0001
    2.2000     0.9981     0.9982    -0.0001
    2.3000     0.9989     0.9991    -0.0003
    2.4000     0.9993     0.9995    -0.0002
    2.5000     0.9996     0.9994     0.0002

在這個區間內，看起來其適配情形還不錯，可以到小數三、四位。但不要高興太早，因為超出此範圍後，多項式會如脫韁之馬，很快就露出馬腳。利用下面程式內容，可以立即用圖形進行比較其誤差之大小，結果則請讀者自行執行。


x = (0: 0.1: 5)';
y = erf(x);
f = polyval(p,x);
plot(x,y,'o',x,f,'-')
axis([0  5  0  2])

8.6 非線性函數求根法-fminsearch

FMINSEARCH指令

此為尋求函數之最小值位置之另一個指令，或稱為尼德－米（Nelder-Mead)法。它可應用於多維非線性函數，不必使用範圍界定。指令之格式如下：


   x = fminsearch(fun,x0)
   x = fminsearch(fun,x0,options)
   [x,fval,exitflag,output] = fminsearch(fun,x0,options)

fminsearch指令起始值為x0，尋找其附近fun函數之最小值，結果置於x。x可為常數，向量或矩陣。同理，options參數可由optimset函數設定。其項目包括 Display, TolX, TolFun, MaxFunEvals, MaxIter, FunValCheck及OutputFcn，讀者可以參閱手冊。


>> X = fminsearch(@cos,3)

X =
    3.1416

---------------------------
>> f=@(x) cos(x)+sin(x);

>> X = fminsearch(f,[5])

X =

    3.9270

>> X = fminsearch(@(x) cos(x)+sin(x),[5])

X =

    3.9270

8.7多項式矩陣值

前述之polyval可計算一個多項式值，若輸入值為矩陣型式，則可使用polyvalm求值，其語法如下：


  Y= polyvalm(p, X)

其中，p為多項式之係數向量，Ｘ為其變數值，以矩陣型式表示，但必須為方矩陣。
例如：


>> p=[1 5 12 40 15]
p =
     1     5    12    40    15
>> X=magic(4)
X =
    16     2     3    13
     5    11    10     8
     9     7     6    12
     4    14    15     1
>> m=polyval(p,X)
m =
       89743         199         459       42109
        1765       23203       16615        7759
       11553        4999        3063       31599
         943       55063       70815          73

>> m=polyvalm(p,X)
m =
      395489      381218      383866      387530
      382538      390345      389154      386066
      386506      387834      388145      385618
      383570      388706      386938      388889