矩阵复习四-特征值与特征向量
A为复数域上的n阶矩阵，a为复数，x为非零向量。
如果：Ax=ax
则a是矩阵A的特征值，x是矩阵A的属于特征值a的特征向量。x！=0
即（aI-A）x=0有非0解
即满足方程det(aI-A)=0的a都是A的特征值。
特征值即是多项式det(aI-A)=0的根。
（
注：
A为m*n的矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是
rank（A）<n.
只有零解得充要条件是rank（A）=A的列数n。
当A为n*n时，有非零解（只有零解）的充要条件也可叙述为：|A|=0（|A|！=0）。
）
特征矩阵:aI-A.
特征值和特征多项式的性质：
当|A|！=0（A可逆）时，其特征值全为非零数，反之，奇异特征矩阵A至少有一个零特征值。
特征值可以为0。
主对角元为a11,a22,...,ann的对角矩阵或上下三角矩阵的n个特征值就是n个对角元。
n阶矩阵A（aij）的n个特征值为r1,...rn,则：
（1） r1+r2+...+rn=tr(A)=a11+a22+...+ann。
（2） r1*r2*...*rn=|A|。
若a是矩阵A的特征值，x是A的属于a的特征向量，则：
（1） ka是kA的特征值（k是任意常数）
（2） am是Am的特征值（m是整数）
（3） 当A可逆时，a-1是A-1的特征值
且：x仍是矩阵kA,Am，A-1的分别对应于特征值ka，am，1/a的特征向量。
矩阵A和AT的特征值相同
若
∑nj=1|aij|<1 (i=1,2,...,n),
或者
∑ni=1|aij|<1 (j =1,2,...,n)
中有一个成立的话，那么所有的特征值的模都小于1，|ak|<1。
相似矩阵：
若存在可逆矩阵P使得：
P-1AP=B
则A和B互为相似矩阵。
记作A~B。有A~B，B~C则 A~C（传递），B~A（对称）
A~B，则有Am~Bm（m为正整数）
相似矩阵的特征值相同。
当A有三个线性无关的特征向量x1,x2,....xn时，取P=（x1,x2,...,xn）,就有
P-1AP=diag（a1,a2,...an）=Λ，a1,a2,...an为与特征向量对应的特征值。
n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。上式即可说明。