Khan公开课 - 概率学习笔记（二）无顺序独立事件、数学符号、Bayes's Law、非公平概率计算

无顺序的独立事件

例如1：flip coins，抛4次，求2次为正面的概率。

所有的可能排列的概率为2×2×2×2，符合要求的events的次数可以罗列出来，但是如果抛的次数多，是不可能的，换种思考方式。

这2个正面放在4个位置，有多少中放法。假设一个证明为H_A，另一个为H_B，H_A可以放4个位置，而当H_A确定后，H_B可以放余下的3个位置，所以放法4×3=12。但是实际上H_A和H_B是无顺序要求的，即H_AH_BTT和H_BH_ATT是一样，在计算总排列数时也视为一样，要除上重复计算的次数，H_AH_B的总排列可能为2×1=2。可能的排列为12/2=6。思考方式和无顺序相依事件一样，即4选2:

例子2：fair coins，抛5次，就3次为正面的概率

普遍情况抛n个硬币，有k个正面的概率：

一些数学符号

数据符合和计算机的编程符号不同，不要混淆。

例如：flip die的例子中，得到2点或者4点的概率，记为：P(2∪4)=P(2)+P(4) ，这是并集的符号，相当于“或”，而交集的符号∩，表示“和”，中英文在表达方面会有所不同。

又例如，flip 2 dice，加起来为7点，问得到一个1点和1个6点的概率，记录 P(Event|conditions)=P(one 1 one 6 | total sum=7)，“|”右边是指定的条件。

Bayes's Law

例子，有10个coins，9个是fair coins，一个是unfair coin，双面都是正面，我们随机从中抽一个coin，抛5次，5次都是正面，问抽到unfair coin的概率是多少？本例即求：P(unfair coin | 5 flips all heads)，在有条件下求概率的发生记录

P(a∩b)=P(a|b)P(b)，P(b∩a)=P(b|a)P(a)，而P(a∩b)= P(b∩a)

故：P(a|b)P(b)=P(b|a)P(a) –->，这就是Bayes's law（贝叶斯法则）。本例

例子：有5个fair coins，10个unfair coins（Head几率0.8，Tail的几率0.2），问如果抽出一个硬币，抛投6次，有4次是Head，为这个硬币是fair coin的几率是多少？

A：fair coin , B: 4/6Heads/flips

P(b|a)=P(6 flips 4 heads| fair coin)=组合次数×每个组合的概率=₆C₄*(0.5)⁶= 0.234375

P(a)=P(fair coin)=5/15=1/3

P(b)=P(6 flips 4 heads)= P(6 flips 4 heads| fair coin)P(fair coin)+ P(6 flips 4 heads| unfaircoin)P(unfair coin)= 0.234375*1/3+₆C₄*(0.8)⁴(0.2)²*2/3=0.241965

unfair event的概率计算

投篮概率为80%，问5投3中的概率为多少。

第一个中第三个中，和第三个中第一个中，没有区别，所以这个combination的问题。在所有的排列组合中，5投3中的组合次数为：

对于某次5投三中，例如BBSSB，概率为0.8*0.8*0.2*0.2*0.8=0.8³*0.2²,对于任何5投3中都是一样，故有：P（5投3中）=10×0.8³*0.2²=20.48%

概率系列后面的课程是二项式、泊松分布，在统计系列中已经讲过。

The End！

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