算法导论第27章，在并行处理的条件下效率很高的排序算法。
介绍
如下面左图所示，每条横线(wire)代表一个待比较的数值，竖线(comparator)表示连接的两条横线要做一次比较，并将较小的值放在输出横线的上方，较大的放在下面。排序过程就是从左往右依次调用各个comparator（在同一位置上的comparator可以同时做）
有图表示了四个数字3, 2, 4, 1在经过这个Sorting Network时的行为。
下图是一个冒泡排序的Sorting Network表示
可以看到所有的比较都没有并行，效率很低。接下来先介绍一个0-1原理，然后利用它来构造一些比较高效的网络。
性质
首先是引理27.1：
对于输入数据A = <a_1, a_2, .., a_n>，如果某个比较网络(comparison network)的输出是B = <b_1, b_2, ..., b_n>，那么对于任一单调递增的函数f，这个网络能把输入数据f(A) = <f(a_1), f(a_2), ..., f(a_n)>变为f(B) = <f(b_1), f(b_2), ...f(b_3)>
这个引理的证明很简单，关键在于min(f(x), f(y)) = f(min(x,y))
接下来就是0-1原理：
一个有n个输入数据的比较网络，如果它能将仅由0和1组成的序列正确的排序（这种输入共有2^n种可能），那么它也能正确的将任意数字组成的序列排序。
证明也不难，利用前面的引理反正即可得到这个定理。
双调排序
接下来先考虑双调序列(bitonic sequence)这种特殊情况，所谓双调序列就是先单调递增，后单调递减，或者可以通过环形旋转变化出上述特性的序列，比如<1, 4, 6, 8, 3, 2>和<6, 9, 4, 2, 3, 5>都满足条件（对于后面一种序列，只要把最后的3, 5移到序列开头就行了）。
双调排序(bitonic sorter)有若干步骤，其中有一步叫做half-cleaner，每一次half-cleaner讲数据放到一个深度为1的排序网络中，第i行和第i+n/2行比较(i=1,2,..,n/2)
引理27.3：
做完上述的half-cleaner后，输出的上半部分和下半部分都保持双调的特点，而且上半部分的每个元素都不大于下半部分的任一元素。
分四种情况讨论即可。
通过递归调用half-cleaner即可完成双调队列的排序。要对n个元素进行双调排序Bitonic-Sorter(n)，首先调用Half-Cleaner(n)，将元素分成上下两部分，接着依次对这两部分执行Bitonic-Sorter(n/2)即可。
调用的深度D(n) = lgn
归并网络
书上只给出了对0-1序列排序的算法，任意数字的排序算法留作了习题。
合并网络基于这样一个事实：对于两个已经排序了的序列X = 00000111，Y = 00001111，将Y倒过来后和X拼接的结果是一个双调序列。对这个双调序列再做一次Bitonic-Sorter就能有序。
通过修改Bitonic-Sorter方法的第一步就能实现Merger，关键在于隐式的反转输入的下半部分。Half-Cleaner方法中比较了第i和第i+n/2两个元素，如果下半部分反转的话就相当于比较第i和第n-i+1个元素。直接继续执行Bitonic-Sorter方法即可，如下图所示。
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排序网络
我们已经有了构造一个排序网络所需的工具，接下来介绍一种利用归并网络进行排序的并行版本。
大致方法和传统的归并排序类似，从最小的颗粒开始二分增长，直到整个序列有序。
这样，一共需要lg(n)次Merger，每次归并中需要做lg(i)次Sorter，排序的总深度
D(n) =
0 (n = 1)
D(n/2) + lg(n) (n = 2^k且 k>=1)
由Master Method可推出D(n) = big-omega(lg^2(n))
也就是说理想的并行环境中，n个数可以在O(lg^2(n))时间内完成排序。
Bitonic Sorter http://www.iti.fh-flensburg.de/lang/algorithmen/sortieren/bitonic/bitonicen.htm
介绍
如下面左图所示，每条横线(wire)代表一个待比较的数值，竖线(comparator)表示连接的两条横线要做一次比较，并将较小的值放在输出横线的上方，较大的放在下面。排序过程就是从左往右依次调用各个comparator（在同一位置上的comparator可以同时做）
有图表示了四个数字3, 2, 4, 1在经过这个Sorting Network时的行为。
下图是一个冒泡排序的Sorting Network表示
可以看到所有的比较都没有并行，效率很低。接下来先介绍一个0-1原理，然后利用它来构造一些比较高效的网络。
性质
首先是引理27.1：
对于输入数据A = <a_1, a_2, .., a_n>，如果某个比较网络(comparison network)的输出是B = <b_1, b_2, ..., b_n>，那么对于任一单调递增的函数f，这个网络能把输入数据f(A) = <f(a_1), f(a_2), ..., f(a_n)>变为f(B) = <f(b_1), f(b_2), ...f(b_3)>
这个引理的证明很简单，关键在于min(f(x), f(y)) = f(min(x,y))
接下来就是0-1原理：
一个有n个输入数据的比较网络，如果它能将仅由0和1组成的序列正确的排序（这种输入共有2^n种可能），那么它也能正确的将任意数字组成的序列排序。
证明也不难，利用前面的引理反正即可得到这个定理。
双调排序
接下来先考虑双调序列(bitonic sequence)这种特殊情况，所谓双调序列就是先单调递增，后单调递减，或者可以通过环形旋转变化出上述特性的序列，比如<1, 4, 6, 8, 3, 2>和<6, 9, 4, 2, 3, 5>都满足条件（对于后面一种序列，只要把最后的3, 5移到序列开头就行了）。
双调排序(bitonic sorter)有若干步骤，其中有一步叫做half-cleaner，每一次half-cleaner讲数据放到一个深度为1的排序网络中，第i行和第i+n/2行比较(i=1,2,..,n/2)
引理27.3：
做完上述的half-cleaner后，输出的上半部分和下半部分都保持双调的特点，而且上半部分的每个元素都不大于下半部分的任一元素。
分四种情况讨论即可。
通过递归调用half-cleaner即可完成双调队列的排序。要对n个元素进行双调排序Bitonic-Sorter(n)，首先调用Half-Cleaner(n)，将元素分成上下两部分，接着依次对这两部分执行Bitonic-Sorter(n/2)即可。
调用的深度D(n) = lgn
归并网络
书上只给出了对0-1序列排序的算法，任意数字的排序算法留作了习题。
合并网络基于这样一个事实：对于两个已经排序了的序列X = 00000111，Y = 00001111，将Y倒过来后和X拼接的结果是一个双调序列。对这个双调序列再做一次Bitonic-Sorter就能有序。
通过修改Bitonic-Sorter方法的第一步就能实现Merger，关键在于隐式的反转输入的下半部分。Half-Cleaner方法中比较了第i和第i+n/2两个元素，如果下半部分反转的话就相当于比较第i和第n-i+1个元素。直接继续执行Bitonic-Sorter方法即可，如下图所示。
排序网络
我们已经有了构造一个排序网络所需的工具，接下来介绍一种利用归并网络进行排序的并行版本。
大致方法和传统的归并排序类似，从最小的颗粒开始二分增长，直到整个序列有序。
这样，一共需要lg(n)次Merger，每次归并中需要做lg(i)次Sorter，排序的总深度
D(n) =
0 (n = 1)
D(n/2) + lg(n) (n = 2^k且 k>=1)
由Master Method可推出D(n) = big-omega(lg^2(n))
也就是说理想的并行环境中，n个数可以在O(lg^2(n))时间内完成排序。
Bitonic Sorter http://www.iti.fh-flensburg.de/lang/algorithmen/sortieren/bitonic/bitonicen.htm