《编程之美》学习笔记之——算法设计中的逆向思维

两个例子：
例一：找符合条件的整数
题目概述：给定正整数N，求最小的正整数M，使N*M十进制表示中只有0和1.
著者给出多种解法。解法一在正整数范围内穷举M。解法二改进了解法一，在十进制表示中只有0和1的正整数范围内穷举N*M，从而间接找到M。解法三再次改进解法二，在模N同余的意义下按照模N的余数对可能的N*M进行分类，这样，便把搜索空间从指数复杂度降到了线性复杂度。
例二：数组分割问题
题目概述：有一个没有排序，元素个数为2N的正整数数组。要求把它分割为元素个数为N的两个数组，并使两个子数组的和最接近。
假设数组A[1..2N]所有元素的和是SUM。模仿动态规划解0-1背包问题的策略，令S(k, i)表示前k个元素中任意i个元素的和的集合。显然：
S(k, 1) = {A[i] | 1<= i <= k}
S(k, k) = {A[1]+A[2]+…+A[k]}
S(k, i) = S(k-1, i) U {A[k] + x | x属于S(k-1, i-1) }
按照这个递推公式来计算，最后找出集合S(2N, N)中与SUM最接近的那个和，这便是答案。这个算法的时间复杂度是O(22N).
因为这个过程中只关注和不大于SUM/2的那个子数组的和。所以集合中重复的和以及大于SUM/2的和都是没有意义的。把这些没有意义的和剔除掉，剩下的有意义的和的个数最多就是SUM/2个。所以，我们不需要记录S(2N,N)中都有哪些和，只需要从SUM/2到1遍历一次，逐个询问这个值是不是在S(2N,N)中出现，第一个出现的值就是答案。我们的程序不需要按照上述递推公式计算每个集合，只需要为每个集合设一个标志数组，标记SUM/2到1这个区间中的哪些值可以被计算出来。关键代码如下：
for(i = 0; i < N+1; i++) for(j = 0; j < sum/2+1; j++) flag[i][j] = false; flag[0][0] = true; for(int k = 1; k <= 2*N; k++) { for(i = k > N ? N : k; i >= 1; i--) { //两层外循环是遍历集合S(k,i) for(j = 0; j <= sum/2; j++) { if(j >= A[k] && flag[i-1][j-A[k]]) flag[i][j] = true; } } } for(i = sum/2; i >= 0; i--) { if(flag[N][i]) { cout << "minimum delta is " << abs(2*i - sum) << endl; break; } }

以上两例中的技术都是搜索时非常有用的技术。