Haskell别扭的Y-Combinator

Haskell别扭的Y-Combinator

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昨天在知乎上看到一个评论提到了Haskell的YC实现，就去搜了一下，然后就看到了一个实现：

1 newtype Mu a = Mu (Mu a -> a)
2 
3 y :: (a -> a) -> a
4 y f = (\h -> h $ Mu h) (\x -> f . (\(Mu g) -> g) x $ x)

嗯，真是别扭

反观一下其他语言的YC写法，就贴一个lua的把

1 Y =  function (f)
2     return  function( )
3        return ( function(x)  return x(x) end)
                   ( function(x)  return f( function(y)  return x(x)(y) end) end)( )
4    end
5 end

虽然看起来很长，但是容易理解的多，用 λ表达式写出来就是（wiki）
λf. ( λx. f (x x)) ( λx. f (x x))
目的就是能做出 Y f = f (Y f) 这种效果，之所以这么写，是为了不引入名字（引入了名字是恶!）

对于Haskell这种用HM类型系统的语言来说，最大的问题就是不能递归的定义类型，同样是静态类型检查，比如C#，就可以不费力的用Func和delegate做出来，haskell 额，就得扭曲的利用newtype Mu a = Mu (Mu a -> a) 来绕过类型检查（当然，这个在Haskell中是不可能构造出一个实际的值的）。

看下他是怎么做的，我们来把他展开一下：
原式子：y f = (\h -> h $ Mu h) (\x -> f . (\(Mu g) -> g) x $ x)
带进去：y f = (\x -> f . (\(Mu g) -> g) x $ x) $ Mu (\x -> f . (\(Mu g) -> g) x $ x)
再来一遍：y f = f . (\x -> f . (\(Mu g) -> g) x $ x) $ Mu (\x -> f . (\(Mu g) -> g) x $ x)

这样子，最后那个式子的f. 后面的那部分，提取 (\x -> f . (\(Mu g) -> g) x $ x) 这个公因式 就相当于是(\h -> h $ Mu h) (\x -> f . (\(Mu g) -> g) x $ x)了（很像数学把，但也没多大关系）
最后，就可以做出y f = f . (y f)了。

其实这个写法最关键的是 newtype Mu a = Mu (Mu a -> a)的作用，他是如何绕过类型检查，但是又不在运行期构造一个值（想构造也构造不出来）。

来看下他的类型推导过程，y的类型是y :: (a -> a) -> a，所以里面f就是 f :: a -> a，所以f . (\(Mu g) -> g) x $ x 这个式子可以推出里面的x是 x :: Mu a 然后(\(Mu g) -> g) x 取出里面的 a，这样就成了
f a $ Mu a，这时候Mu a = Mu (Mu a -> a) 递归定义的作用就发挥了，为了类型的推导，继续将那个红色的a 推导成 Mu a -> a，这样 f (Mu a -> a) 会返回一个Mu a -> a，管他叫f'把，这样 f' (Mu a) 就返回一个 a。有根据前面的(\h -> h $ Mu h) 继续讲上面提到的a变成 Mu a -> a。就是把Mu a 喂给了 (Mu a -> a)，最后还是返回一个a。
( >_< 其实上面这段是我编出来的，我编不下去了，我不知道ghc是怎么做这个事情的，等我有生之年看完slpj-book-1987再想想)

我们来应用一下，返回一个阶乘：

y (\f n -> if n <= 1 then 1 else n * f (n - 1)) 5。
不难看出，最终y的类型被特化成了 ((Int -> Int) -> (Int -> Int)) -> (Int -> Int)