【算法设计与分析】5个数7次比较排序的算法
找到最快的算法，一直是计算机界的目标之一，而排序就是其中最基本的算法。什么样的排序才是最快的呢？
1.最少的比较次数，算法理论证明n个数排序，如果是基于比较的算法，至少需要 ㏒(n!) 向上取整数。下面给出小数目下，最少比较次数：
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| ㏒(n!) | 0 | 1 | 3 | 5 | 7 | 10 | 13 | 16 |
2.移动次数最少，根据群论置换群理论，n个数的序列，变换到这n个数组成另一个序列，一定可以在最多n次移动内做到。
在理论的指引下，人们开始寻找这些传说中的极限。人们开始简单地完成了n=1,2,3,4的极限算法，但是当n=5时，人们长期停留在了8次比较。但是在1956年，H.B.Demuth在终于首先找到5个次7次比较的排序方法，并在他的博士论文中进行了阐述。下面就是对这个算法的C语言实现：
/* 1956年H.B.Demuth找到的5个数7次的比较方法，后来Lester Ford,Selmer Johnson归并插入排序中使用*/
/********************************************************************
* 示意图如下 *
* *
* [0] [1] 排序得 [0]<=[1] *
* [2] [3] 排序得 [2]<=[3] *
* [1] [3] 排序得 [1]<=[3] *
* 此时有关系：[0]<=[3],,[2]<=[1]<=[3] *
* *
* [1] [4] *
* _______|_______ *
* | | *
* [1]<=[4] [1]>[4] *
* ___|___ ___|___ *
* | | | | *
* [0]<=[1] [0]>[1] [2]<=[4] [2]>[4] *
* ① ② ③ ④ *
* *
* 情况①：[0][2]比较一次，[3][4]比较一次，即可确定顺序 *
* 情况②：[0][4]比较一次，[0]<=[4]则[3][4]再比较一次 *
* 情况③：[0][4]比较一次，[0]<=[4]则比较[0][2],否则比较[0][1] *
* 情况④：[0][2]比较一次，[0]<=[2]则比较[0][4],否则比较[0][1] *
* *
* 伪代码如下： *
* SORT([0],[1]); *
* SORT([2],[3]); *
* SORT([1],[3]); *
* IF [1]<=[4] *
* IF [0]<=[1] *
* IF [0]<=[2] *
* IF [3]<=[4] ① *
* ELSE ② *
* ELSE *
* IF [3]<=[4] ③ *
* ELSE ④ *
* ELSE *
* IF [0]<=[4] *
* IF [3]<=[4] ⑤ *
* ELSE ⑥ *
* ELSE ⑦ *
* ELSE *
* IF [2]<=[4] *
* IF [0]<=[4] *
* IF [0]<=[2] ① *
* ELSE ② *
* ELSE *
* IF [0]<=[1] ③ *
* ELSE ④ *
* ELSE *
* IF [0]<=[2] *
* IF [0]<=[4] ⑤ *
* ELSE ⑥ *
* ELSE *
* IF [0]<=[1] ⑦ *
* ELSE ⑧ *
* 共15种情形，针对每种情形都可以有最佳移动顺序 0-8次,平均4.5次 *
********************************************************************/
/*比较[0][1]*/
if( arr[0] > arr[1])
swap(arr[0],arr[1]);
/*比较[2][3]*/
if( arr[2] > arr[3])
swap(arr[2],arr[3]);
/*比较[1][3]*/
if( arr[1] > arr[3])
swap(arr[1],arr[3]);
if( arr[1] <= arr[4] )
{
if( arr[0] <= arr[1])
{
if( arr[0] <= arr[2] )
{
if( arr[3] <= arr[4] )
{ /* ① 正确顺序为：[0][2][1][3][4]*/
swap(arr[1],arr[2]);
return 0;
}
else/*②正确顺序为：[0][2][1][4][3]*/
{
swap(arr[1],arr[2]);
swap(arr[3],arr[4]);
return 0;
}
}
else/* arr[3] >= arr[1] >= arr[0] > arr[2] */
{
if( arr[3] <= arr[4])/*③正确顺序为：[2][0][1][3][4]*/
{
int temp = arr[2];
arr[2] = arr[1];
arr[1] = arr[0];
arr[0] = temp;
return 0;
}
else/*④正确顺序为：[2][0][1][4][3]*/
{
int temp = arr[2];
arr[2] = arr[1];
arr[1] = arr[0];
arr[0] = temp;
swap(arr[3],arr[4]);
return 0;
}
}
}
else/* arr[1]<= arr[4] && arr[0] > arr[1] */
{
if( arr[0] <= arr[4])
{
if( arr[3] <= arr[4])/* ⑤正确顺序为[2][1][0][3][4]*/
{
swap(arr[0],arr[2]);
return 0;
}
else/* ⑥正确顺序为[2][1][0][4][3]*/
{
swap(arr[0],arr[2]);
swap(arr[3],arr[4]);
return 0;
}
}
else/* ⑦正确顺序为[2][1][4][0][3]*/
{
int temp = arr[4];
arr[4] = arr[3];
arr[3] = arr[0];
arr[0] = arr[2];
arr[2] = temp;
return 0;
}
}
}
else/* arr[1] > arr[4] */
{
if( arr[2] <= arr[4] )/* [2][4][1][3]*/
{
if( arr[0] <= arr[4] )
{
if( arr[0] <= arr[2])/*①正确顺序为[0][2][4][1][3]*/
{
int temp = arr[4];
arr[4] = arr[3];
arr[3] = arr[1];
arr[1] = arr[2];
arr[2] = temp;
return 0;
}
else/*②正确顺序为[2][0][4][1][3]*/
{
int temp = arr[4];
arr[4] = arr[3];
arr[3] = arr[1];
arr[1] = arr[0];
arr[0] = arr[2];
arr[2] = temp;
return 0;
}
}
else
{
if( arr[0] <= arr[1] )/*③正确顺序为[2][4][0][1][3]*/
{
int temp = arr[4];
arr[4] = arr[3];
arr[3] = arr[1];
arr[1] = temp;
swap(arr[0],arr[2]);
return 0;
}
else/*④正确顺序为[2][4][1][0][3]*/
{
int temp = arr[4];
arr[4] = arr[3];
arr[3] = arr[0];
arr[0] = arr[2];
arr[2] = arr[1];
arr[1] = temp;
return 0;
}
}
}
else/* [4][2][1][3] */
{
if( arr[0] <= arr[2] )
{
if( arr[0] <= arr[4] )/*⑤正确顺序为[0][4][2][1][3]*/
{
int temp = arr[4];
arr[4] = arr[3];
arr[3] = arr[1];
arr[1] = temp;
return 0;
}
else/*⑥正确顺序为[4][0][2][1][3]*/
{
int temp = arr[4];
arr[4] = arr[3];
arr[3] = arr[1];
arr[1] = arr[0];
arr[0] = temp;
return 0;
}
}
else
{
if( arr[0] <= arr[1] )/*⑦正确顺序为[4][2][0][1][3]*/
{
int temp = arr[4];
arr[4] = arr[3];
arr[3] = arr[1];
arr[1] = arr[2];
arr[2] = arr[0];
arr[0] = temp;
return 0;
}
else/*⑧正确顺序为[4][2][1][0][3]*/
{
int temp = arr[4];
arr[4] = arr[3];
arr[3] = arr[0];
arr[0] = temp;
swap(arr[1],arr[2]);
return 0;
}
}
}
}
上述程序，我应经做了简单的测试，没有发现bug，比较的思想在注释中进行了详细说明。有人说，优秀的程序员都有完美情节，我们看到追求完美的带价的高昂的，程序显得异常复杂。但也正是这种不断追求完美的勇气，才让这个世界越来越美好，越来越丰富多彩，不是吗？