分治法循环赛日程表
算法分析与设计作业
姓名：蔡东赟
学号：3106007039
班级：06软件04班
组员：蔡东赟
完成日期： 2009-3-22
分治法循环日程表... 1
算法分析与设计作业... 1
姓名：蔡东赟... 1
学号：3106007039. 1
班级：06软件04班... 1
组员：蔡东赟... 1
完成日期：2009-3-22. 1
目录：
一、问题描述：单循环赛... 3
二、算法分析：... 3
1. 首先我要证明老师提供的问题，有错误。... 3
2. 算法思路(N可能为奇数，也可能是偶数) 3
总体思路：按分治策略，将所有分为两半，n个选手可以通过n/2个选手设计的比赛日程表来决定。递归地用一分为二的略对选手进行分割，直到只剩下两个选手。... 3
存储结构：... 3
数组 a[i][j], a[i][j]表示运动员i在第j天所遇到的选手... 3
详细思路：... 4
（1）分治法，... 4
（2）n为偶数的情况Copy（）函数：A.将左上角递归计算出的小块的所有数字按其相对位置抄到右下角，B.将右上角的小块的所有数字加n/2后按其相对位置抄到左下角，将左下角的小块中的所有数字按其相对位置抄到右上角 4
（3）一般性描述：n为偶数; n是奇数时增加一个虚拟选手n+1，将问题转换为n是偶数的情形。 4
（4） 判断奇偶... 4
（5）makecopy（）与copy相似，并区分奇偶情况... 4
(6)copyodd(n)实现n/2为奇数的时候的复制... 4
三、时间效率：... 5
一、问题描述：单循环赛
• 赛程问题: 有N个运动员进行单循环赛，即每个运动员要和所有其他运动员进行一次比赛。
• 试用分治法为这N个运动员安排比赛日程。
• 要求每个运动员每天只进行一场比赛，
• 且整个赛程在N -1天内结束。
• 将运动员从1到N编号。
二、算法分析：
1. 首先我要证明老师提供的问题，有错误。
整个赛程，当N为偶数的时候，N-1天能够结束，
而当N为奇数的时候，只能在至少N天结束，、
错误地方：原命题中“整个赛程在N-1天结束”，这在N为奇数下的情况不成立
A. 因为，由已知 “每个运动员要和所有其他运动员进行一次比赛”则 每个运动员总共进行N-1场，又由每一场有两个运动员参加，N个运动员就进行了[N*（N-1）]/2，设为C
B.又因为已知“要求每个运动员每天只进行一场比赛”则没人每天只能进行1
场，所有运动员为N，每一场由两个运动员参加，
当N为偶数的时候，每天只能出现的场数为N/2场,推出==》至少的天数为C/(N/2)=N-1场，这与命题中“且整个赛程在N -1天内结束。”不矛盾
当N为奇数的时候，由于每个运动员每天只能进行一场，所以每天能进行的总场数最多只能为（N-1）/2场，则整个赛程的天数最少需要 天数 C/[(N-1)/2]=N天，这与原命题“且整个赛程在N -1天内结束。”矛盾，
比如N=3的时候，每场必须有两个人，则每天只能有一场比赛，假设是1和2比赛，则3号运动员没有对象比赛，所以一天最多一场比赛，这个比赛需要的比赛场数C=3场，则整个比赛需要的天数为C/1=3天
由此依照命题前部分要求得出，当N为偶数的情况 循环赛可以进行N-1天，当N为奇数的时候，循环赛至少要进行N天。
2. 算法思路(N可能为奇数，也可能是偶数)
总体思路：按分治策略，将所有分为两半，n个选手可以通过n/2个选手设计的比赛日程表来决定。递归地用一分为二的略对选手进行分割，直到只剩下两个选手。
对于N为奇数的情况可以虚拟多一个选手，使其编程N+1个选手的日程表，最然后忽略虚拟运动员参与的比赛。对于分割时候N/2的情况也做特殊处理, 前n/2轮比赛空选手与下一个未参赛的选手进行比赛
存储结构：
数组 a[i][j], a[i][j]表示运动员i在第j天所遇到的选手
详细思路：
（1）分治法，
Tourna（n）：
If n==1
a[1][1]=1;return;
tourna(n/2);//递归分割
copy(n); //填表
（2）n为偶数的情况Copy（）函数：A.将左上角递归计算出的小块的所有数字按其相对位置抄到右下角，B.将右上角的小块的所有数字加n/2后按其相对位置抄到左下角，将左下角的小块中的所有数字按其相对位置抄到右上角
Viod copy(int n){
Int m=n/2;
For i=1àm
For j=1--->m{
a[i][j+m]=a[i][j]+m;// 小块的数值抄到右下角
a[i+m][j]=a[i][j+m];// 右上抄到左下
a[i+m][j+m]=a[i][j];// 左下抄到右上
}
}
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
（3）一般性描述：n为偶数; n是奇数时增加一个虚拟选手n+1，将问题转换为n是偶数的情形。
tournament（n）:
if n==1 : a[1][1]=1;return;//分割到最后
if n为奇数 ：tournament（n+1）;return;//奇数的情况加上虚拟选手
tournament（n/2）;//分割
makecopy(n);//这个函数copy分n为偶数很n为奇数的情况
（4） 判断奇偶
odd(n):
Return n&1;
（5）makecopy（）与copy相似，并区分奇偶情况
makecopy(n):
if n/2>1 &&add(n/2) copyodd(n);//对n/2为奇数的情况的处理
else copy(n);//偶数的情况
(6)copyodd(n)实现n/2为奇数的时候的复制
n/2奇数的一种处理方法：前n/2轮比赛空选手与下一个未参赛的选手进行比赛
Copyodd(n):
Int m=n/2
For i=1→m
b[i]=m+i;b[m+i]=b[i];
for i=1→m
for j=1→m+1{
if a[i][j]>m:
a[i][j]=b[i];a[m+i][j]=(b[i]+m)%n;
else
a[m+i][j]=a[i][j]+m;
for j=2→m
a[i][m+j]=b[i+j-1];
a[b[i+j-1]][m+j]=i
}
三、时间效率：
T(n)=T(n/2)+f(n)
f(n)为copy的时间
f(n)=(n/2)^2
推出：T(n)=T(n/2)+(n/2)^2
N规模的问题做logN次f(n)
T(n)属于O（∑O((n/(2^k))^2)） 1<=k<log(n) 也就是T(n)∈O(n^2)
计算规模减少，但是时间复杂度一样增长