解题笔记（34）——求最长单调递减子序列

      问题描述：求一个数组的最长递减子序列 比如{9，4，3，2，5，4，3，2}的最长递减子序列为{9，5，4，3，2}。

      思路：这是很经典的一个问题，用动态规划解决。假设源数组为A，定义一个辅助数组为B，B[i]表示以A[i]结尾的最长递减序列的长度。举个简单的例子，如果A[i]大于之前的所有元素，那么B[i] = 1。

      有了这个辅助数组后，可以推出下面这个递推式子。B[i] = max{B[k] + 1, A[k]>A[i]&&0=<k<i} , B[0] = 1。最长递减序列的长度为 max { B[i], 0<=i<n }。当然，题目要求把结果打印出来。该如何获取这个序列呢？这是一个逆过程。如果我们知道B[k] 最大，那么A[k]就是最长递减序列的末尾元素。关键在于获取前面一个元素，我们可以搜寻B[k]前面的元素（从后往前搜寻），当满足B[i] + 1 == B[k] && A[i] > A[k]时，A[i]就是前一个元素，递归求解即可。算法的时间复杂度为O(n^2)，网上还有一种解法，复杂度为O(nlogn)。有兴趣的网友可以搜一下，本人水平有限没怎么明白，这里就不引用了。

      参考代码：

//函数功能 ： 打印最长递减子序列
//函数参数 ： pArray指向源数组，pB指向辅助数组，k表示最长子序列的末尾元素
//返回值 ：   无
void Print(int *pArray, int *pB, int k)
{
	for (int i = k - 1; i >= 0; i--)
	{
		if(pB[k] == pB[i] + 1 && pArray[i] > pArray[k]) //再现动态规划求解的过程，只不过是逆向
		{
			Print(pArray, pB, i);
			break;
		}
	}
	cout<<pArray[k]<<' ';
}

//函数功能 ： 一个数组的最长递减子序列
//函数参数 ： pArray指向源数组，len表示数组长度
//返回值 ：   无
void FindMDS(int *pArray, int len)
{
	int i, j, maxi = 0;        //maxi用来记录最长递减序列的末尾元素
	int *pB = new int [len];   //辅助空间，pB[i]表示以pAray[i]结尾的最长递减序列长度
	for(i = 0 ; i < len; i++)  //初始化
		pB[i] = 0;

	for(i = 0; i < len; i++)   //计算以pAray[i]结尾的最长递减序列
	{
		pB[i] = 1;
		for(j = 0; j < i; j++)
		{
			if(pArray[j] > pArray[i] && pB[j] + 1 > pB[i]) //这个判断式是关键
			{
				pB[i] = pB[j] + 1;
				if(pB[i] > pB[maxi]) //更新当前找到的最长递减序列
					maxi = i;
			}
		}
	}
	Print(pArray, pB, maxi); //打印目标序列
	delete [] pB;
}

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