找规律博弈小记(更新)

最近在HDOJ上水博弈的题目,在这里记录一些小规律。

!!1)http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2897

题意:一堆n个石子,每次最多取q个,最少取p个,切最后不少于p个时必须一次性取完。谁后取完者输。

PS:那么就是谁先取到剩p个时候就赢了,少于p个的话一定输,因为必须取完,

如果谁当前遇到0个,赢,大于p小于p+q个是赢,因为先手总是可以想办法给后手留下p个,让他不得不拿。

推理发现n个和n-(p+q)输赢一样,所以首先可对n%=(p+q)。

代码:

#include <cstdio>
int main()
{
    int n,p,q;
    while(~scanf("%d%d%d",&n,&p,&q))
    {
        if(p>q)
            std::swap(p,q);
        n%=(p+q);
        if(n<=p&&n!=0)
            printf("LOST\n");
        else
            printf("WIN\n");
    }
    return 0;
}


!!2)http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2516

题意:n个石子,每次都必须取最少一个,第一次可以取任意多个,以后取不能超过上次的2倍,谁先取完者胜、

推理发现其正好符合斐波那契数列,为斐波那契数时后手赢,其他先手赢。

还要注意其范围为2^31次方,可用map容器解决。

#include<stdio.h>
#include <map>
using namespace std;
map<int,int> v;
void isit()
{
    v[2]=1,v[3]=1;
    int a=2,b=3;
    while(b<2147483648)
    {
        int c=a+b;
        v[c]=1;
        a=b;
        b=c;
    }
}
int main()
{
    int n;
    isit();
    while(~scanf("%d",&n)&&n)
    {
        if(v[n])
            printf("Second win\n");
        else
            printf("First win\n");
    }
    return 0;
}


!!3)http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2147

题意:给定一个m*n的矩阵,放一个石子在右上角,每次可以向下,向左,或者下左(对角)移动,谁先移动到右下角胜。

假如m和n有一个偶数,那么先手总能够维持这个偶数直到赢,否则他会输。

#include<stdio.h>

int main()
{
    int n,m;
    while(~scanf("%d %d",&n,&m))
    {
        if(n==0||m==0)
            break;
        if(n%2==1&&m%2==1)
            printf("What a pity!\n");
        else
            printf("Wonderful!\n");
    }
}



!!4)http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3951 (奇偶性博弈)

题意:n个硬币放成一圈,每次最多取连续k个,不能不取。最后取完者胜、

分析:n个硬币,不论n是奇数偶数,后手总能够在第一轮把它变成对称两部分的状态,对称状态下后手肯定赢。

那么先手能赢只能是k>=n或者每次只能取一个且n是奇数。

#include <cstdio>
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    for(int cas=1;cas<=T;cas++)
    {
        int m,n;
        scanf("%d%d",&m,&n);
        printf("Case %d: ",cas);
        if(n>=m || n==1&&m%2==1)
            printf("first\n");
        else
            printf("second\n");
    }
}


!!5)http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3389 (阶梯博弈)

题意:给出n个盒子,编号1--n,在满足b>a && (a+b)%2==1 && (a+b)%3==0 && b不为空,的情况下从b中取出任意多个石子放入a总,不能操作者输,求先手输赢

分析:首先,要满足(a+b)%3==0 ,既为3的倍数,又(a+b)%2==1,既为奇数,所以(a+b)为 3 , 6 , 9, 15 , 21...依次+6,发现周期为6

在一个周期 0 - - 6中

只有(1,2)(3 ,6 )(4,5)满足条件,那么就可以从 2 6 5中取出其中石子,变为nim游戏。所以只要求 I%6 == 0   ||  1 ||  5,的值异或就行

#include <cstdio>
int main()
{
    int T,n,cas=1;
    scanf("%d",&T);
    for(int cas=1;cas<=T;cas++)
    {
        scanf("%d",&n);
        int ans=0,x;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&x);
            if(i%6==2 || i%6==0 || i%6==5)
                ans^=x;
        }
        printf("Case %d: ",cas);
        printf(ans==0?"Bob\n":"Alice\n");
    }
    return 0;
}


!!6)http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1517

题意:给出p=1,博弈双方每次可以乘以2--9之间的数,谁先达到或超过 n 为胜者,求先手胜败。

分析:首先1  ---  9 区间先手胜。

    10 ---  18 区间,先手输,先手不论乘以几,后手总可以乘以一个数超过。假设乘最小的2,后手乘以 9 ,变为18 超过 。

    19 ---- 162 区间,先手胜,先手可以在第一次选择性乘以一个数让对手乘以最大的 9 达不到,然后在下一轮轻松达到赢。比如161,首先先手乘以9,后手发现乘以

最大的 9 也才 81 ,那么他会乘以最小的 2 ,后手乘以 9 ,结果162,超出161.赢!

   162 ----324区间,先手输 ,假如163,先手发现乘以最大的 9 的话局面也不能再第二轮由自己控制,那么他乘以2,相当于163 / 2 = 82,在区间 19 --- 162中,可得后

手必赢,如果他乘以 9 的话,163 / 9 = 18余1,相当于19,那么也是输。


继续向下推理发现每次交替乘以 2 或 9 ,那么程序就很简单了。

#include <cstdio>
int main()
{
    __int64 n;
    while(~scanf("%I64d",&n))
    {
        int k=0;
        for(int i=9;i<n;){
            i*=k%2?9:2;
            k++;
        }
        printf(k%2==1?"Ollie wins.\n":"Stan wins.\n");
    }
    return 0;
}


!!7) http://www.bnuoj.com/bnuoj/problem_show.php?pid=4353


描述:给出一个m*n的矩阵,每次可以选择一个点,把其右上角的格子全部删去,谁删掉了最坐下角的格子的话为输,求先手输赢。


分析:首先看 1 * n 的格子,出了 1 * 1 的其他的都先手赢,因为先手可以一次取完只给队友留校左下一个。

2 * n 的格子,先手赢。看 2 * 2 的,先手必定先取右上一个,那么剩下的后手不能一次取完,后手取完先手取剩下的给后手留给左下的。

2 * 3 的先手赢,前面知 2 * 2 的先手赢,那么谁能取到面对 2 * 2 的则必胜,先手必先取最左上一个,那么不论后手怎么取都输。

2 * n 的,都是先手赢,总可以推到前面的,而前面无论哪个都是先手赢。所以。。

3 * n 的,先手赢,首先先手一定不能一次变成 2 * n 的,因为后手面对2 * n 的则先手必输,那么先手可以取到 2 * n 多一个。那么他必胜。

推理发现除了 1 * 1 的所有情况都是先手必胜。

#include <cstdio>
int main()
{
    int n,m,T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n==1 && m==1)
            printf("Alice\n");
        else
            printf("Bob\n");
    }
    return 0;
}


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